基于线性规划的图最小费用流问题的多项式时间双尺度算法求解示例 我将为您讲解一个线性规划在图论中的应用问题：最小费用流问题的多项式时间双尺度算法。这个算法结合了容量缩放和成本缩放的思想，能够在多项式时间内求解最小费用流问题。 问题描述 考虑一个有向图G=(V,E)，其中： V是顶点集合，|V|=n E是边集合，|E|=m 每条边e∈E有容量u(e)≥0和费用c(e)∈ℝ 每个顶点v∈V有供需量b(v)∈ℝ，且∑b(v)=0 目标是找到满足所有顶点供需约束且总费用最小的流。 数学模型 最小费用流问题可以表示为线性规划： minimize ∑c(e)f(e) subject to: ∑f(e) - ∑f(e) = b(v) ∀v∈V 0 ≤ f(e) ≤ u(e) ∀e∈E 双尺度算法原理 双尺度算法结合了容量缩放和成本缩放： 容量缩放：逐步放宽容量约束的精度要求 成本缩放：逐步提高费用计算的精度 算法步骤详解 步骤1：初始化 设置初始缩放参数Δ = max{2^k: 2^k ≤ max|b(v)|} 初始化流f=0 设置费用缩放因子ε = 1/(2n) 步骤2：容量缩放阶段 对于每个缩放参数Δ执行： 计算残量网络G_ f(Δ) 在残量网络上寻找Δ-近似最优流 步骤3：费用缩放阶段（核心） 对于每个费用精度水平k=1,2,...,⌈log(nC)⌉执行： 设置费用缩放因子ε_ k = 1/2^k 将费用c(e)量化为⌊c(e)/ε_ k⌋ 在量化后的网络上寻找最优流 步骤4：价格函数维护 维护对偶变量（价格函数）p:V→ℝ： 满足ε-互补松弛条件： 对于所有边e=(u,v)： 如果c_ p(e) < -ε，则f(e) = u(e) 如果c_ p(e) > ε，则f(e) = 0 如果-ε ≤ c_ p(e) ≤ ε，则0 ≤ f(e) ≤ u(e) 其中c_ p(e) = c(e) + p(u) - p(v)是简化费用。 步骤5：最短路径计算 使用修改的Dijkstra算法在残量网络上计算最短路径： 边权重新定义为：w(e) = ⌊c_ p(e)/ε⌋ 由于权值被缩放和量化，算法可以在O(m+n log n)时间内完成 步骤6：流推送操作 沿着找到的最短路径推送流： 计算路径的残量容量 推送最小{残量容量, Δ}单位的流 更新残量网络和价格函数 步骤7：缩放参数更新 当当前缩放水平的流优化完成后，将Δ减半：Δ ← Δ/2 重复直到Δ < 1 算法复杂度分析 容量缩放阶段数：O(log U)，其中U是最大容量 每个容量缩放阶段内的费用缩放阶段数：O(log(nC)) 每个费用缩放阶段内的最短路径计算次数：O(m) 总复杂度：O(m log U · log(nC) · (m+n log n)) 实例演示 考虑一个简单网络： 顶点：s（供应1），t（需求1），中间顶点v 边：s→v（容量2，费用1），v→t（容量2，费用1），s→t（容量2，费用3） 初始化：Δ=1，f=0 容量缩放Δ=1： 费用缩放：ε=1/2 找到路径s→v→t，费用c_ p=1+1=2 推送1单位流，总费用=2 算法终止，得到最优解 算法优势 多项式时间保证 结合两种缩放策略，提高效率 适用于大规模网络优化问题 理论保证与实用性的良好平衡 这个双尺度算法展示了如何通过精心设计的缩放策略，将组合优化问题转化为一系列可高效求解的线性规划子问题。