CRYSTALS-Dilithium 后量子数字签名算法中的环与模数多项式运算
字数 2290 2025-12-01 03:01:29

CRYSTALS-Dilithium 后量子数字签名算法中的环与模数多项式运算

题目描述

CRYSTALS-Dilithium 是一种基于格的后量子数字签名算法，其安全性依赖于模块化格（Module-Lattice）上的计算困难问题。算法的核心运算是环 \(R_q = \mathbb{Z}_q[X]/(X^n + 1)\) 上的多项式运算，其中 \(n=256\)，\(q=8380417\)（一个素数）。题目要求详细解释该环上的多项式乘法、模运算及优化方法。

解题过程

1. 环 \(R_q\) 的结构与参数选择

  • 环定义：\(R_q\) 由所有系数在 \(\mathbb{Z}_q\) 中、次数小于 \(n\) 的多项式构成，模多项式 \(X^n + 1\) 保证环是循环的（\(X^n \equiv -1\)）。
  • 参数意义：
    • \(n=256\)：平衡安全性与计算效率，适合快速数论变换（NTT）。
    • \(q=8380417\)：满足 \(q \equiv 1 \pmod{2n}\)，确保 \(\mathbb{Z}_q\) 中存在 \(2n\) 次本原单位根，支持 NTT 优化。

2. 多项式表示与运算规则

  • 系数表示：多项式 \(a(X) = a_0 + a_1X + \dots + a_{n-1}X^{n-1}\) 存储为长度为 \(n\) 的数组。
  • 模运算规则：
    • 系数模 \(q\)：所有系数运算结果需模 \(q\)，例如 \(a_i \cdot b_j \mod q\)。
    • 多项式模 \(X^n + 1\)：利用 \(X^n \equiv -1\) 简化高次项。例如：

\[ X^{n+k} \equiv (-1) \cdot X^k \pmod{X^n + 1}. \]

3. 多项式乘法的朴素方法（非优化）

若直接计算 \(c(X) = a(X) \cdot b(X) \mod (X^n + 1)\)：

  1. 计算普通多项式乘法（次数最高为 \(2n-2\)）。
  2. 利用 \(X^n \equiv -1\) 折叠高次项：
    • 对 \(k \geq n\)，项 \(c_k X^k\) 转换为 \(-c_k X^{k-n}\)。
  3. 合并同类项，并对所有系数模 \(q\)。
  • 缺点：时间复杂度 \(O(n^2)\)，对 \(n=256\) 效率较低。

4. 快速数论变换（NTT）优化

NTT 是有限域上的快速傅里叶变换（FFT），将多项式乘法复杂度降至 \(O(n \log n)\)。

步骤：

  1. 预处理单位根：

    • 在 \(\mathbb{Z}_q\) 中找 \(2n\) 次本原单位根 \(\omega\)，即 \(\omega^{2n} \equiv 1\)，且 \(\omega^k \not\equiv 1\)（对 \(k < 2n\)）。
    • 由于 \(q \equiv 1 \pmod{2n}\)，这样的 \(\omega\) 存在（例如 \(\omega = 3^{(q-1)/2n} \mod q\)）。

  2. 正向 NTT（求值）：

    • 将多项式 \(a(X)\) 的系数转换为 \(n\) 个点值 \(\hat{a}_i = a(\omega^{2i+1})\)。
    • 使用 Cooley-Tukey 蝶形算法分治计算，复杂度 \(O(n \log n)\)。

  3. 点乘：

    • 对两个多项式的点值逐点相乘：\(\hat{c}_i = \hat{a}_i \cdot \hat{b}_i \mod q\)。

  4. 逆向 NTT（插值）：

    • 将点值 \(\hat{c}_i\) 转换回系数形式，需乘 \(n^{-1} \mod q\) 进行缩放。

关键点：

  • NTT 要求多项式模 \(X^n - 1\)，但 Dilithium 使用 \(X^n + 1\)。解决方案：
    • 通过负缠绕技巧（negative wrapped convolution）调整：将 \(a(X)\) 预乘 \(\omega^i\) 再执行 NTT。

5. 实际运算示例（简化）

设 \(n=4\)，\(q=17\)（满足 \(q \equiv 1 \pmod{8}\)），计算 \(a(X) = 1 + 2X\)，\(b(X) = 3 + 4X\) 在 \(R_q\) 中的乘积：

  1. 朴素方法：

    • \(a \cdot b = 3 + 10X + 8X^2\)。
    • 模 \(X^4 + 1\)：\(8X^2 \equiv -8 \Rightarrow c(X) = 3 + 10X - 8 \equiv -5 + 10X\)。
    • 系数模 \(17\)：\(c(X) = 12 + 10X\)。

  2. NTT 方法（略去详细蝶形计算）：

    • 单位根 \(\omega=2\)（因 \(2^8 \equiv 1 \mod 17\)）。
    • 通过预乘调整后执行 NTT，点乘后逆 NTT，结果与朴素法一致。

总结

CRYSTALS-Dilithium 的环运算通过 NTT 实现高效多项式乘法，结合模数 \(q\) 的巧妙选择，兼顾安全性与性能。理解这一过程是掌握 Dilithium 签名生成与验证的基础。

CRYSTALS-Dilithium 后量子数字签名算法中的环与模数多项式运算 题目描述 CRYSTALS-Dilithium 是一种基于格的后量子数字签名算法，其安全性依赖于模块化格（Module-Lattice）上的计算困难问题。算法的核心运算是环 \( R_ q = \mathbb{Z}_ q[ X ]/(X^n + 1) \) 上的多项式运算，其中 \( n=256 \)，\( q=8380417 \)（一个素数）。题目要求详细解释该环上的多项式乘法、模运算及优化方法。 解题过程 1. 环 \( R_ q \) 的结构与参数选择 环定义 ：\( R_ q \) 由所有系数在 \( \mathbb{Z}_ q \) 中、次数小于 \( n \) 的多项式构成，模多项式 \( X^n + 1 \) 保证环是循环的（\( X^n \equiv -1 \)）。 参数意义 ： \( n=256 \)：平衡安全性与计算效率，适合快速数论变换（NTT）。 \( q=8380417 \)：满足 \( q \equiv 1 \pmod{2n} \)，确保 \( \mathbb{Z}_ q \) 中存在 \( 2n \) 次本原单位根，支持 NTT 优化。 2. 多项式表示与运算规则 系数表示 ：多项式 \( a(X) = a_ 0 + a_ 1X + \dots + a_ {n-1}X^{n-1} \) 存储为长度为 \( n \) 的数组。 模运算规则 ： 系数模 \( q \) ：所有系数运算结果需模 \( q \)，例如 \( a_ i \cdot b_ j \mod q \)。 多项式模 \( X^n + 1 \) ：利用 \( X^n \equiv -1 \) 简化高次项。例如： \[ X^{n+k} \equiv (-1) \cdot X^k \pmod{X^n + 1}. \] 3. 多项式乘法的朴素方法（非优化） 若直接计算 \( c(X) = a(X) \cdot b(X) \mod (X^n + 1) \)： 计算普通多项式乘法（次数最高为 \( 2n-2 \)）。 利用 \( X^n \equiv -1 \) 折叠高次项： 对 \( k \geq n \)，项 \( c_ k X^k \) 转换为 \( -c_ k X^{k-n} \)。 合并同类项，并对所有系数模 \( q \)。 缺点 ：时间复杂度 \( O(n^2) \)，对 \( n=256 \) 效率较低。 4. 快速数论变换（NTT）优化 NTT 是有限域上的快速傅里叶变换（FFT），将多项式乘法复杂度降至 \( O(n \log n) \)。 步骤 ： 预处理单位根 ： 在 \( \mathbb{Z}_ q \) 中找 \( 2n \) 次本原单位根 \( \omega \)，即 \( \omega^{2n} \equiv 1 \)，且 \( \omega^k \not\equiv 1 \)（对 \( k < 2n \)）。 由于 \( q \equiv 1 \pmod{2n} \)，这样的 \( \omega \) 存在（例如 \( \omega = 3^{(q-1)/2n} \mod q \)）。 正向 NTT（求值） ： 将多项式 \( a(X) \) 的系数转换为 \( n \) 个点值 \( \hat{a}_ i = a(\omega^{2i+1}) \)。 使用 Cooley-Tukey 蝶形算法分治计算，复杂度 \( O(n \log n) \)。 点乘 ： 对两个多项式的点值逐点相乘：\( \hat{c}_ i = \hat{a}_ i \cdot \hat{b}_ i \mod q \)。 逆向 NTT（插值） ： 将点值 \( \hat{c}_ i \) 转换回系数形式，需乘 \( n^{-1} \mod q \) 进行缩放。 关键点 ： NTT 要求多项式模 \( X^n - 1 \)，但 Dilithium 使用 \( X^n + 1 \)。解决方案： 通过负缠绕技巧（negative wrapped convolution）调整：将 \( a(X) \) 预乘 \( \omega^i \) 再执行 NTT。 5. 实际运算示例（简化） 设 \( n=4 \)，\( q=17 \)（满足 \( q \equiv 1 \pmod{8} \)），计算 \( a(X) = 1 + 2X \)，\( b(X) = 3 + 4X \) 在 \( R_ q \) 中的乘积： 朴素方法 ： \( a \cdot b = 3 + 10X + 8X^2 \)。 模 \( X^4 + 1 \)：\( 8X^2 \equiv -8 \Rightarrow c(X) = 3 + 10X - 8 \equiv -5 + 10X \)。 系数模 \( 17 \)：\( c(X) = 12 + 10X \)。 NTT 方法 （略去详细蝶形计算）： 单位根 \( \omega=2 \)（因 \( 2^8 \equiv 1 \mod 17 \)）。 通过预乘调整后执行 NTT，点乘后逆 NTT，结果与朴素法一致。 总结 CRYSTALS-Dilithium 的环运算通过 NTT 实现高效多项式乘法，结合模数 \( q \) 的巧妙选择，兼顾安全性与性能。理解这一过程是掌握 Dilithium 签名生成与验证的基础。