高斯-拉盖尔求积公式在放射性同位素衰变热计算中的变量替换技巧

题目描述
计算放射性同位素衰变过程中释放的总热量，积分模型为：

\[Q = \int_{0}^{\infty} P_0 e^{-\lambda t} \cdot e^{-\alpha t} \, dt \]

其中 \(P_0\) 是初始衰变功率，\(\lambda\) 是衰变常数，\(\alpha\) 是热耗散系数。被积函数包含指数衰减项 \(e^{-(\lambda + \alpha)t}\)，需在无穷区间 \([0, \infty)\) 上积分。

解题步骤

1. 问题分析

   • 积分区间为 \([0, \infty)\)，适合使用高斯-拉盖尔求积公式，该公式专用于权函数 \(e^{-t}\) 的无穷积分。
   • 当前被积函数为 \(P_0 e^{-(\lambda + \alpha)t}\)，与标准权函数 \(e^{-t}\) 形式不匹配，需通过变量替换对齐权函数。

2. 变量替换

   • 令 \(s = (\lambda + \alpha)t\)，则 \(t = \frac{s}{\lambda + \alpha}\)，\(dt = \frac{ds}{\lambda + \alpha}\)。
   • 积分变为：

\[ Q = \frac{P_0}{\lambda + \alpha} \int_{0}^{\infty} e^{-s} \, ds \]

 此时被积函数简化为 $e^{-s}$，与高斯-拉盖尔权函数一致。

3. 应用高斯-拉盖尔公式
   • 高斯-拉盖尔公式的一般形式：

\[ \int_{0}^{\infty} e^{-s} f(s) \, ds \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(s_i) \]

 其中 $s_i$ 是拉盖尔多项式的根（节点），$w_i$ 是对应权重。  

• 本例中 \(f(s) = 1\)，因此积分简化为：

\[ Q \approx \frac{P_0}{\lambda + \alpha} \sum_{i=1}^{n} w_i \cdot 1 = \frac{P_0}{\lambda + \alpha} \sum_{i=1}^{n} w_i \]

• 高斯-拉盖尔权重的和满足 \(\sum w_i = 1\)（因为公式对常数函数 \(f(s)=1\) 精确成立），故：

\[ Q = \frac{P_0}{\lambda + \alpha} \]

 这与解析解一致，说明变量替换后即使低阶公式也能得到精确结果。

4. 一般情况处理
   • 若被积函数包含更复杂的 \(g(t)\)（如温度依赖的热容），即 \(Q = \int_{0}^{\infty} g(t) e^{-(\lambda + \alpha)t} \, dt\)。
   • 变量替换后：

\[ Q = \frac{1}{\lambda + \alpha} \int_{0}^{\infty} e^{-s} g\left(\frac{s}{\lambda + \alpha}\right) ds \]

• 数值计算时，选取 \(n\) 个节点和权重，计算：

\[ Q \approx \frac{1}{\lambda + \alpha} \sum_{i=1}^{n} w_i \, g\left(\frac{s_i}{\lambda + \alpha}\right) \]

• 节点 \(s_i\) 和权重 \(w_i\) 需查表或通过拉盖尔多项式生成。

5. 误差与节点选择
   • 高斯-拉盖尔公式对 \(2n-1\) 次多项式精确成立，若 \(g(t)\) 光滑，少量节点即可高精度逼近。
   • 对于非光滑函数，可增加节点数或分段使用复合高斯-拉盖尔公式。

关键点
变量替换将原积分转化为标准高斯-拉盖尔形式，避免直接处理无穷区间和指数衰减，同时保证计算效率。该方法适用于核工程中衰变热、反应堆物理等领域的类似积分问题。