排序算法之：鸽巢排序（Pigeonhole Sort）的进阶优化与空间效率分析

题目描述
鸽巢排序（Pigeonhole Sort）是一种非比较型整数排序算法，适用于待排序元素的范围已知且范围不大的情况。其核心思想是：如果存在n个鸽巢和m只鸽子（m ≤ n），每个鸽巢最多容纳一只鸽子，那么鸽子可以按鸽巢的顺序自然排列。在排序中，我们创建一个大小为(max - min + 1)的辅助数组（鸽巢），遍历原数组（鸽子）并将每个元素放到对应索引（元素值 - min）的巢中，最后按顺序收集非空巢中的元素即可完成排序。但基础版本在空间利用和重复元素处理上存在优化空间。本题要求分析鸽巢排序的进阶优化策略，并评估其空间效率。

解题过程

1. 基础鸽巢排序原理

   • 假设原数组为arr，长度为n，最小值为min，最大值为max。
   • 创建鸽巢数组pigeonholes，大小为range = max - min + 1，初始化为空（例如用None或计数0）。
   • 遍历arr，对于元素x，计算索引idx = x - min，将x放入pigeonholes[idx]（或增加计数）。
   • 遍历pigeonholes，按顺序收集所有非空巢中的元素，得到排序结果。
   • 时间复杂度：O(n + range)；空间复杂度：O(range)。

2. 重复元素处理的优化

   • 基础版本中，若同一巢有多个元素（重复值），需扩展鸽巢结构。例如，将每个巢改为链表或动态数组。
   • 优化策略：用计数代替存储实际元素。创建计数数组count，大小为range，遍历arr时对count[x - min]递增。最后根据计数数组重构排序数组：

     for i in range(range):
         for j in range(count[i]):
             sorted_arr.append(i + min)
     

   • 优点：避免存储重复元素的空间开销，尤其适合重复值多的场景。

3. 空间效率优化：稀疏范围处理

   • 当range极大（如max-min接近整数上限）但实际元素稀疏（n << range）时，基础版本空间浪费严重。
   • 优化策略：改用哈希表（字典）代替数组。键为x - min，值为计数或元素列表。

     pigeonholes = {}
     for x in arr:
         idx = x - min
         pigeonholes[idx] = pigeonholes.get(idx, 0) + 1  # 计数模式
     

   • 收集时遍历键的范围[0, range]，若键存在则添加对应元素。
   • 空间复杂度降为O(n)，但需哈希表操作开销。

4. 边界情况与稳定性分析

   • 若range过大（如超过内存限制），需结合外部排序策略（如分块处理）。
   • 鸽巢排序是稳定排序：重复元素按原顺序存储（若用链表）或按首次出现顺序收集（计数模式天然稳定）。

5. 性能对比与适用场景

   • 优化后空间效率：
     • 密集范围：计数数组版O(range)，但避免重复存储。
     • 稀疏范围：哈希表版O(n)，适合数据分布不均的场景。
   • 适用场景：数据范围小、重复值多、非比较排序需求（如整数或字符排序）。

通过以上优化，鸽巢排序在空间效率上显著提升，尤其适合特定约束下的排序任务。