SM2椭圆曲线公钥密码算法中的点加与倍点运算详解 我将为您讲解SM2算法中椭圆曲线点加（Point Addition）和倍点（Point Doubling）运算的详细过程。这些运算是椭圆曲线密码学的基础，用于实现密钥生成、签名和加密等操作。 1. 椭圆曲线基础 SM2使用的椭圆曲线方程为：y² = x³ + ax + b (mod p)，其中a、b是曲线参数，p是一个大素数。在SM2中，a = p - 3，这可以简化计算。 2. 点加运算（P ≠ Q） 当两个不同的点P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)相加时： 计算斜率λ = (y₂ - y₁) * (x₂ - x₁)⁻¹ mod p 结果点R(x₃, y₃)的计算： x₃ = λ² - x₁ - x₂ mod p y₃ = λ(x₁ - x₃) - y₁ mod p 3. 倍点运算（P = Q） 当点P(x₁, y₁)自加时： 计算斜率λ = (3x₁² + a) * (2y₁)⁻¹ mod p 结果点R(x₃, y₃)的计算： x₃ = λ² - 2x₁ mod p y₃ = λ(x₁ - x₃) - y₁ mod p 4. 特殊点处理 单位元：定义无穷远点O作为加法单位元，P + O = P 逆元：点P(x, y)的逆元是-P(x, -y mod p)，满足P + (-P) = O 5. 计算示例（简化数字） 假设在曲线y² = x³ - 3x + 3 (mod 17)上： 点P(1, 1)和Q(2, 4)相加： λ = (4-1) (2-1)⁻¹ mod 17 = 3 1 = 3 x₃ = 3² - 1 - 2 = 6 mod 17 y₃ = 3(1-6) - 1 = -16 ≡ 1 mod 17 结果：R(6, 1) 6. 实际应用中的优化 使用雅可比坐标避免模逆运算 采用滑动窗口法加速标量乘法 预计算常用点提高效率 7. 安全性考虑 确保运算过程中不泄露时序信息 验证输入点确实在曲线上 防止侧信道攻击 点加和倍点运算是SM2算法中最基础的运算，理解这些运算有助于深入掌握椭圆曲线密码学的原理。