列生成算法在电力系统机组组合问题中的随机规划扩展模型求解示例

字数 1973 2025-11-30 11:05:25

列生成算法在电力系统机组组合问题中的随机规划扩展模型求解示例

我将为您讲解列生成算法在电力系统机组组合问题中的随机规划扩展模型求解。这个问题结合了列生成的高效性、机组组合的复杂性和随机规划的不确定性处理能力。

问题描述

考虑一个电力系统中的机组组合问题：我们需要决定在接下来24小时内，哪些发电机组应该运行（启停状态）以及它们的发电量。问题的复杂性在于：

发电机组有最小运行时间和最小停机时间约束
机组启动和关停会产生成本
电力需求随时间变化，且存在不确定性（如可再生能源出力波动）
必须满足旋转备用等可靠性要求

在随机规划框架下，我们考虑多个场景（如风电出力的不同水平），目标是找到最优的机组启停和发电计划，使得期望总成本最小。

数学模型

设：

$I$: 发电机组集合
$T$: 时间段集合（24小时）
$S$: 随机场景集合
$p_s$: 场景$s$的概率

主问题（Master Problem）：

\[\min \sum_{i \in I} \sum_{k \in K_i} \lambda_{ik} C_{ik} + \sum_{s \in S} p_s Q_s(x) \]

满足：

\[\sum_{k \in K_i} \lambda_{ik} = 1, \quad \forall i \in I \]

\[\lambda_{ik} \in \{0,1\}, \quad \forall i \in I, k \in K_i \]

其中$K_i$是机组$i$的所有可能运行模式，$C_{ik}$是模式$k$的固定成本，$Q_s(x)$是场景$s$下的第二阶段成本。

求解过程

步骤1：限制主问题初始化
首先，为每台机组$i$生成一个初始的可行运行模式集合$K_i^0$（通常只包含停机模式）。建立限制主问题（RMP）：

\[\min \sum_{i \in I} \sum_{k \in K_i^0} \lambda_{ik} C_{ik} + \sum_{s \in S} p_s Q_s(x) \]

这个限制问题比原问题小得多，容易求解。

步骤2：定价子问题
对每台机组$i$，求解定价子问题来寻找可能降低总成本的新运行模式。子问题为：

\[\min \bar{c}_i(u_i,g_i) = c_i(u_i,g_i) - \pi_i - \sum_{t \in T} \mu_t g_{it} \]

其中：

$u_i$: 机组启停状态变量
$g_i$: 发电量变量
$\pi_i$: 主问题中凸性约束的对偶变量
$\mu_t$: 功率平衡约束的对偶变量

子问题的目标函数值$\bar{c}_i^*$称为检验数（reduced cost）。

步骤3：列生成条件
如果存在机组$i$使得$\bar{c}_i^* < 0$（对于最小化问题），说明找到的新模式能降低总成本。将对应的新列加入限制主问题。

步骤4：随机规划处理
在第二阶段的$Q_s(x)$中，对于每个场景$s$，求解一个经济调度子问题：

\[Q_s(x) = \min \sum_{i \in I} c_{i}^s(g_i^s) \]

满足场景$s$下的功率平衡、备用约束等。

步骤5：收敛判断
重复步骤2-4，直到所有机组的检验数$\bar{c}_i^* \geq 0$，此时当前解是最优的。

算法细节

子问题的高效求解
每个机组的定价子问题是一个单机组的机组组合问题，可以用动态规划高效求解：

状态：$(t, u, \tau)$，其中$t$是时间，$u$是状态，$\tau$是当前状态持续时间
状态转移考虑最小运行/停机时间约束
计算每个状态的最小成本路径

随机场景的集成
在定价子问题中，检验数计算需考虑所有场景：

\[\bar{c}_i = c_i^f + \sum_{s \in S} p_s c_{i}^s - \pi_i - \sum_{t \in T} \sum_{s \in S} p_s \mu_t^s g_{it}^s \]

其中$c_i^f$是固定成本，$c_{i}^s$是场景$s$的发电成本。

数值稳定性处理
为避免数值问题，可以采用：

列管理策略（删除长期不活跃的列）
稳定化技术（如对偶价格平滑）
启发式规则生成有希望的初始列

实际应用考虑
在实际电力系统中，还需要处理：

网络安全约束
机组爬坡率限制
不同时间尺度的决策（日前、实时）
可再生能源预测不确定性建模

这种方法能够有效处理大规模机组组合问题，通过列生成将复杂问题分解为易于处理的子问题，同时通过随机规划考虑不确定性，为电力系统经济调度提供鲁棒解。

列生成算法在电力系统机组组合问题中的随机规划扩展模型求解示例我将为您讲解列生成算法在电力系统机组组合问题中的随机规划扩展模型求解。这个问题结合了列生成的高效性、机组组合的复杂性和随机规划的不确定性处理能力。问题描述考虑一个电力系统中的机组组合问题：我们需要决定在接下来24小时内，哪些发电机组应该运行（启停状态）以及它们的发电量。问题的复杂性在于：发电机组有最小运行时间和最小停机时间约束机组启动和关停会产生成本电力需求随时间变化，且存在不确定性（如可再生能源出力波动）必须满足旋转备用等可靠性要求在随机规划框架下，我们考虑多个场景（如风电出力的不同水平），目标是找到最优的机组启停和发电计划，使得期望总成本最小。数学模型设： $I$: 发电机组集合 $T$: 时间段集合（24小时） $S$: 随机场景集合 $p_ s$: 场景$s$的概率主问题（Master Problem）： $$\min \sum_ {i \in I} \sum_ {k \in K_ i} \lambda_ {ik} C_ {ik} + \sum_ {s \in S} p_ s Q_ s(x)$$ 满足： $$\sum_ {k \in K_ i} \lambda_ {ik} = 1, \quad \forall i \in I$$ $$\lambda_ {ik} \in \{0,1\}, \quad \forall i \in I, k \in K_ i$$ 其中$K_ i$是机组$i$的所有可能运行模式，$C_ {ik}$是模式$k$的固定成本，$Q_ s(x)$是场景$s$下的第二阶段成本。求解过程步骤1：限制主问题初始化首先，为每台机组$i$生成一个初始的可行运行模式集合$K_ i^0$（通常只包含停机模式）。建立限制主问题（RMP）： $$\min \sum_ {i \in I} \sum_ {k \in K_ i^0} \lambda_ {ik} C_ {ik} + \sum_ {s \in S} p_ s Q_ s(x)$$ 这个限制问题比原问题小得多，容易求解。步骤2：定价子问题对每台机组$i$，求解定价子问题来寻找可能降低总成本的新运行模式。子问题为： $$\min \bar{c} i(u_ i,g_ i) = c_ i(u_ i,g_ i) - \pi_ i - \sum {t \in T} \mu_ t g_ {it}$$ 其中： $u_ i$: 机组启停状态变量 $g_ i$: 发电量变量 $\pi_ i$: 主问题中凸性约束的对偶变量 $\mu_ t$: 功率平衡约束的对偶变量子问题的目标函数值$\bar{c}_ i^* $称为检验数（reduced cost）。步骤3：列生成条件如果存在机组$i$使得$\bar{c}_ i^* < 0$（对于最小化问题），说明找到的新模式能降低总成本。将对应的新列加入限制主问题。步骤4：随机规划处理在第二阶段的$Q_ s(x)$中，对于每个场景$s$，求解一个经济调度子问题： $$Q_ s(x) = \min \sum_ {i \in I} c_ {i}^s(g_ i^s)$$ 满足场景$s$下的功率平衡、备用约束等。步骤5：收敛判断重复步骤2-4，直到所有机组的检验数$\bar{c}_ i^* \geq 0$，此时当前解是最优的。算法细节子问题的高效求解每个机组的定价子问题是一个单机组的机组组合问题，可以用动态规划高效求解：状态：$(t, u, \tau)$，其中$t$是时间，$u$是状态，$\tau$是当前状态持续时间状态转移考虑最小运行/停机时间约束计算每个状态的最小成本路径随机场景的集成在定价子问题中，检验数计算需考虑所有场景： $$\bar{c} i = c_ i^f + \sum {s \in S} p_ s c_ {i}^s - \pi_ i - \sum_ {t \in T} \sum_ {s \in S} p_ s \mu_ t^s g_ {it}^s$$ 其中$c_ i^f$是固定成本，$c_ {i}^s$是场景$s$的发电成本。数值稳定性处理为避免数值问题，可以采用：列管理策略（删除长期不活跃的列）稳定化技术（如对偶价格平滑）启发式规则生成有希望的初始列实际应用考虑在实际电力系统中，还需要处理：网络安全约束机组爬坡率限制不同时间尺度的决策（日前、实时）可再生能源预测不确定性建模这种方法能够有效处理大规模机组组合问题，通过列生成将复杂问题分解为易于处理的子问题，同时通过随机规划考虑不确定性，为电力系统经济调度提供鲁棒解。