非线性规划中的过滤集方法(Filter Method)进阶题

字数 2013 2025-11-30 06:54:37

非线性规划中的过滤集方法(Filter Method)进阶题

题目描述
考虑如下非线性规划问题：
最小化 \(f(x)\)
满足约束 \(c_i(x) \leq 0, \quad i = 1, 2, \dots, m\)，
其中 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 和 \(c_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 均为连续可微函数。过滤集方法通过维护一个“过滤集”来避免传统罚函数法中惩罚因子难以选取的问题。过滤集记录一系列互不占优的\((h(x), f(x))\)对，其中 \(h(x) = \sum_{i=1}^m \max(0, c_i(x))\) 衡量约束违反程度。要求设计一个过滤集算法的完整流程，并分析其收敛性。

解题过程

过滤集的基本思想
- 定义二元组 \((h(x), f(x))\)，其中 \(h(x)\) 为约束违反度。称点 \(x_1\) 被 \(x_2\) 占优，若 \(h(x_1) \geq h(x_2)\) 且 \(f(x_1) \geq f(x_2)\)，且至少一个不等式严格成立。
- 过滤集 \(\mathcal{F}\) 是一个集合，其中任意两点互不占优。新迭代点 \(x_k\) 仅当其二元组不被 \(\mathcal{F}\) 中任何点占优时，才被接受并加入过滤集，同时删除被其占优的点。
算法框架
- 步骤1：初始化
  选择初始点 \(x_0\)，初始过滤集 \(\mathcal{F} = \{ (h(x_0), f(x_0)) \}\)，容忍度 \(\epsilon > 0\)，迭代计数器 \(k = 0\)。
- 步骤2：子问题求解
  在当前点 \(x_k\) 构建局部近似模型（如二次模型）：

\[ \min_d f(x_k) + \nabla f(x_k)^T d + \frac{1}{2} d^T B_k d \quad \text{s.t.} \quad h(x_k + d) \leq h(x_k) - \delta, \]

 其中 $ B_k $ 为Hessian近似，$ \delta > 0 $ 为边际条件。求解得试探点 $ \tilde{x}_{k+1} = x_k + d_k $。

步骤3：接受准则
若 \((h(\tilde{x}_{k+1}), f(\tilde{x}_{k+1}))\) 不被 \(\mathcal{F}\) 中任何点占优，则接受 \(x_{k+1} = \tilde{x}_{k+1}\)，并更新过滤集：
- 添加 \((h(x_{k+1}), f(x_{k+1}))\)；
- 删除所有被新点占优的点。
  否则拒绝试探点，缩小步长或改进模型后重新求解子问题。
步骤4：终止条件
若 \(h(x_k) < \epsilon\) 且 \(\| \nabla L(x_k, \lambda_k) \| < \epsilon\)（其中 \(L\) 为拉格朗日函数），则停止；否则令 \(k = k+1\) 并返回步骤2。

收敛性分析
- 通过边际条件 \(h(x_k + d) \leq h(x_k) - \delta\) 确保每次迭代要么显著降低 \(h(x)\)，要么降低 \(f(x)\)。
- 若算法产生无限序列，则必有 \(h(x_k) \to 0\) 或 \(f(x_k) \to -\infty\)，且在约束规范下，极限点满足KKT条件。
- 过滤集避免了罚因子趋于无穷的数值困难，但需谨慎处理过滤集大小（可设置容量上限）。
实例演示
考虑问题：

\[ \min x_1^2 + x_2^2 \quad \text{s.t.} \quad x_1 + x_2 \geq 1. \]

令 \(h(x) = \max(0, 1 - x_1 - x_2)\)，初始点 \(x_0 = (0,0)\)，\(h(x_0)=1, f(x_0)=0\)。
第一次迭代：求解子问题得 \(\tilde{x}_1 = (0.5, 0.5)\)，\(h=0, f=0.5\)。由于 \((0, 0.5)\) 不被 \((1, 0)\) 占优（因 \(h\) 更小），接受并更新过滤集为 \(\{(1,0), (0,0.5)\}\)。
后续迭代继续优化至KKT点 \((0.5, 0.5)\)。

总结
过滤集方法通过多目标权衡替代罚函数，增强了算法的鲁棒性。其核心在于动态维护非支配解集，确保迭代单调性，同时避免参数敏感性。

非线性规划中的过滤集方法(Filter Method)进阶题题目描述考虑如下非线性规划问题：最小化 \( f(x) \) 满足约束 \( c_ i(x) \leq 0, \quad i = 1, 2, \dots, m \)，其中 \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 和 \( c_ i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 均为连续可微函数。过滤集方法通过维护一个“过滤集”来避免传统罚函数法中惩罚因子难以选取的问题。过滤集记录一系列互不占优的\( (h(x), f(x)) \)对，其中 \( h(x) = \sum_ {i=1}^m \max(0, c_ i(x)) \) 衡量约束违反程度。要求设计一个过滤集算法的完整流程，并分析其收敛性。解题过程过滤集的基本思想定义二元组 \( (h(x), f(x)) \)，其中 \( h(x) \) 为约束违反度。称点 \( x_ 1 \) 被 \( x_ 2 \) 占优，若 \( h(x_ 1) \geq h(x_ 2) \) 且 \( f(x_ 1) \geq f(x_ 2) \)，且至少一个不等式严格成立。过滤集 \( \mathcal{F} \) 是一个集合，其中任意两点互不占优。新迭代点 \( x_ k \) 仅当其二元组不被 \( \mathcal{F} \) 中任何点占优时，才被接受并加入过滤集，同时删除被其占优的点。算法框架步骤1：初始化选择初始点 \( x_ 0 \)，初始过滤集 \( \mathcal{F} = \{ (h(x_ 0), f(x_ 0)) \} \)，容忍度 \( \epsilon > 0 \)，迭代计数器 \( k = 0 \)。步骤2：子问题求解在当前点 \( x_ k \) 构建局部近似模型（如二次模型）： \[ \min_ d f(x_ k) + \nabla f(x_ k)^T d + \frac{1}{2} d^T B_ k d \quad \text{s.t.} \quad h(x_ k + d) \leq h(x_ k) - \delta, \] 其中 \( B_ k \) 为Hessian近似，\( \delta > 0 \) 为边际条件。求解得试探点 \( \tilde{x}_ {k+1} = x_ k + d_ k \)。步骤3：接受准则若 \( (h(\tilde{x} {k+1}), f(\tilde{x} {k+1})) \) 不被 \( \mathcal{F} \) 中任何点占优，则接受 \( x_ {k+1} = \tilde{x}_ {k+1} \)，并更新过滤集：添加 \( (h(x_ {k+1}), f(x_ {k+1})) \)；删除所有被新点占优的点。否则拒绝试探点，缩小步长或改进模型后重新求解子问题。步骤4：终止条件若 \( h(x_ k) < \epsilon \) 且 \( \| \nabla L(x_ k, \lambda_ k) \| < \epsilon \)（其中 \( L \) 为拉格朗日函数），则停止；否则令 \( k = k+1 \) 并返回步骤2。收敛性分析通过边际条件 \( h(x_ k + d) \leq h(x_ k) - \delta \) 确保每次迭代要么显著降低 \( h(x) \)，要么降低 \( f(x) \)。若算法产生无限序列，则必有 \( h(x_ k) \to 0 \) 或 \( f(x_ k) \to -\infty \)，且在约束规范下，极限点满足KKT条件。过滤集避免了罚因子趋于无穷的数值困难，但需谨慎处理过滤集大小（可设置容量上限）。实例演示考虑问题： \[ \min x_ 1^2 + x_ 2^2 \quad \text{s.t.} \quad x_ 1 + x_ 2 \geq 1. \] 令 \( h(x) = \max(0, 1 - x_ 1 - x_ 2) \)，初始点 \( x_ 0 = (0,0) \)，\( h(x_ 0)=1, f(x_ 0)=0 \)。第一次迭代：求解子问题得 \( \tilde{x}_ 1 = (0.5, 0.5) \)，\( h=0, f=0.5 \)。由于 \( (0, 0.5) \) 不被 \( (1, 0) \) 占优（因 \( h \) 更小），接受并更新过滤集为 \( \{(1,0), (0,0.5)\} \)。后续迭代继续优化至KKT点 \( (0.5, 0.5) \)。总结过滤集方法通过多目标权衡替代罚函数，增强了算法的鲁棒性。其核心在于动态维护非支配解集，确保迭代单调性，同时避免参数敏感性。