龙贝格积分法在带峰值函数积分中的误差控制与收敛性分析
题目描述
考虑计算定积分
\[I = \int_{0}^{2} \frac{1}{(x-1)^2 + 0.01} \, dx \]
该被积函数在 \(x=1\) 处有一个尖锐的峰值（峰值高度为100），传统数值积分方法（如均匀步长的复合梯形法）在峰值附近因采样不足会导致显著误差。要求通过龙贝格积分法（Romberg Integration）计算该积分，并分析其误差控制机制与收敛性。
解题过程
1. 龙贝格积分法基本原理
龙贝格积分法是一种外推加速技术，通过复合梯形公式的递归计算和Richardson外推，逐步提高积分精度。其核心步骤包括：
- 递推生成梯形序列：利用复合梯形公式 \(T(h)\) 的步长逐次减半（\(h \to h/2\)），生成序列 \(T_0^{(0)}, T_0^{(1)}, T_0^{(2)}, \dots\)。
- 外推加速：通过递归公式 \(T_m^{(k)} = \frac{4^m T_{m-1}^{(k+1)} - T_{m-1}^{(k)}}{4^m - 1}\) 消除误差主项，得到更高精度的近似。
2. 针对峰值函数的适应性分析
峰值函数在极小区间内变化剧烈，龙贝格法的优势在于：
- 自适应加密采样：通过步长逐次减半，在峰值附近自动增加采样点，避免遗漏关键区间。
- 误差阶跃提升：外推过程将误差从 \(O(h^2)\)（梯形法）逐步提升至 \(O(h^{2m+2})\)，加速收敛。
3. 具体计算步骤
以本题为例，计算过程如下：
步骤3.1 初始化
设初始步长 \(h_0 = 2\)（区间 \([0,2]\) 两端点），计算梯形公式：
\[T_0^{(0)} = \frac{h_0}{2} \left[ f(0) + f(2) \right] = \frac{2}{2} \left[ \frac{1}{1.01} + \frac{1}{1.01} \right] \approx 1.980 \]
步骤3.2 步长减半计算
步长 \(h_1 = 1\)，新增中点 \(x=1\)：
\[T_0^{(1)} = \frac{1}{2} T_0^{(0)} + h_1 \cdot f(1) = 0.5 \times 1.980 + 1 \times 100 \approx 100.990 \]
此时峰值点被采样，积分值显著增大。
步骤3.3 第一次外推
利用 \(T_0^{(0)}\) 和 \(T_0^{(1)}\) 进行一阶外推（消除 \(h^2\) 误差项）：
\[T_1^{(0)} = \frac{4 T_0^{(1)} - T_0^{(0)}}{3} \approx \frac{4 \times 100.990 - 1.980}{3} \approx 134.627 \]
步骤3.4 步长继续减半
步长 \(h_2 = 0.5\)，新增点 \(x=0.5, 1.5\)：
\[T_0^{(2)} = \frac{1}{2} T_0^{(1)} + h_2 \left[ f(0.5) + f(1.5) \right] \approx 0.5 \times 100.990 + 0.5 \left[ 3.846 + 3.846 \right] \approx 54.311 \]
外推得到二阶结果：
\[T_1^{(1)} = \frac{4 T_0^{(2)} - T_0^{(1)}}{3} \approx 38.585, \quad T_2^{(0)} = \frac{16 T_1^{(1)} - T_1^{(0)}}{15} \approx 31.183 \]
步骤3.5 收敛判断
重复上述过程直至相邻外推值的相对误差小于阈值（如 \(10^{-6}\)）。本例精确值约为 \(31.4159\)（可通过解析计算验证），龙贝格法经过5-6次迭代即可达到该精度。
4. 误差控制与收敛性
- 误差来源：峰值函数的高阶导数在 \(x=1\) 处较大，导致复合梯形公式的余项显著。龙贝格法通过外推逐步消除低阶误差项。
- 收敛条件：若被积函数足够光滑，外推序列会快速收敛。对于峰值函数，需保证峰值区间被充分采样，否则外推可能失效。
- 实际应用：可结合自适应策略，在峰值附近局部加密采样，再应用龙贝格外推。
关键点总结
龙贝格积分法通过步长逐次减半和外推技术，有效处理峰值函数的积分问题。其收敛速度依赖于函数的光滑性，但对于孤立峰值，只要采样足够密集，即可实现高效误差控制。