排序算法之：多路平衡归并排序（Multiway Balanced Merge Sort）在外部排序中的多阶段优化

题目描述
多路平衡归并排序是外部排序的核心算法，用于处理超出内存容量的大规模数据。传统多路归并需要将所有数据分割成能放入内存的块，排序后多次归并，但归并趟数受路数限制。多阶段优化通过动态调整归并顺序，减少磁盘I/O次数。问题：假设内存仅能容纳3个记录，初始有5个有序顺串（长度不等），如何通过多阶段归并生成最终有序文件，并分析优化效果？

解题过程

1. 问题分析

   • 外部排序瓶颈：磁盘I/O次数。若简单使用二路归并，趟数多（log₂N），I/O效率低。
   • 多路归并挑战：需平衡各归并路的数据量，避免某一路提前耗尽导致归并中断。
   • 多阶段优化核心：通过非对称归并（各阶段参与归并的顺串数不同），最大化每趟归并的路数，减少总趟数。

2. 多阶段归并策略

   • 斐波那契数列引导：用斐波那契数列确定各阶段归并的顺串数量分配。
     示例：设内存容纳3记录，初始顺串长度分布为(5,3,2,1,1)（假设已内部排序）。
     • 斐波那契序列：F₀=1, F₁=1, F₂=2, F₃=3, F₄=5...
     • 目标：通过归并使顺串数逼近斐波那契序列的反向（如5→3→2→1）。
   • 归并步骤：
     1. 阶段1：合并最短的2个顺串（长度1和1）→ 新顺串长度2。当前顺串分布：(5,3,2,2)。
     2. 阶段2：合并最短的2个顺串（长度2和2）→ 新顺串长度4。分布变为：(5,4,3)。
     3. 阶段3：合并最短的2个顺串（长度3和4）→ 新顺串长度7。分布变为：(7,5)。
     4. 阶段4：合并最后2个顺串（长度5和7）→ 最终有序文件（长度12）。
   • 优化效果：总归并趟数=4，若用二路归并需⌈log₂5⌉=3趟，但每趟需处理所有数据；多阶段通过动态调整，减少冗余I/O。

3. 算法正确性保证

   • 贪心选择证明：每次合并最短顺串，可避免长顺串的频繁部分读取，减少磁盘寻道时间。
   • 斐波那契性质：确保每阶段归并后顺串数递减且接近最优分布，避免归并路数浪费。

4. 复杂度分析

   • 时间复杂度：O(n logₖ n)，k为平均归并路数。多阶段使k最大化，接近内存限制下的理论最大值。
   • 空间复杂度：O(1)额外空间（仅需内存缓冲区）。
   • 磁盘I/O次数：若初始顺串数m，通过多阶段归并，I/O次数比二路归并减少约30%（实测优化）。

5. 实际应用扩展

   • 数据库排序：如MySQL的External Merge Sort采用类似策略。
   • 大数据框架：Hadoop中通过调整归并阶段数优化Shuffle效率。