分块矩阵的预处理GMRES算法解多重右端项线性方程组 题目描述 考虑需要求解一系列具有相同系数矩阵但不同右端项的线性方程组：AX = B，其中A是n×n的大型稀疏矩阵，B是n×m的矩阵（包含m个右端项），X是待求的n×m解矩阵。直接对每个右端项独立应用迭代法（如GMRES）计算成本高。分块矩阵的预处理GMRES算法通过同时处理所有右端项，利用Krylov子空间中的块向量运算，并结合预处理技术，加速求解过程。核心问题是如何高效构建块Krylov子空间，并设计预处理子以改善收敛性。 解题过程 问题形式化 给定矩阵A和右端项矩阵B = [ b₁, b₂, ..., b_ m ]，目标是一次性求解AX = B。 直接扩展GMRES：将解向量和残差从向量扩展为矩阵（块向量），在块Krylov子空间K_ k(A, R₀) = span{R₀, AR₀, ..., A^{k-1}R₀}中寻找近似解，其中R₀ = B - AX₀是初始残差矩阵（X₀为初始猜测）。 块Arnoldi过程构建正交基 目标：生成块Krylov子空间的一组标准正交基{Q₁, Q₂, ..., Q_ k}，每个Q_ i是n×m的矩阵，且列向量相互正交。 步骤： a. 初始化：对初始残差R₀进行QR分解，R₀ = Q₁H₀（H₀是m×m上三角矩阵），Q₁作为第一块基。 b. 迭代构造：对于j=1,2,...,k，计算W = AQ_ j，然后对W与之前所有基块{Q₁, ..., Q_ j}进行正交化（使用块Gram-Schmidt过程）： 对于i=1到j，计算投影系数H_ {i,j} = Q_ i^T W。 减去投影：W = W - Q_ i H_ {i,j}。 c. 对W进行QR分解：W = Q_ {j+1} H_ {j+1,j}，其中H_ {j+1,j}是m×m上三角矩阵，Q_ {j+1}为新基块。 最终得到块Hessenberg矩阵H（分块上三角矩阵）。 预处理技术应用 目的：改善A的条件数，加速收敛。左预处理形式为M^{-1}AX = M^{-1}B，其中M是预处理矩阵（如不完全LU分解M ≈ LU）。 在块Arnoldi过程中，每一步计算W = AQ_ j替换为W = M^{-1}AQ_ j（即先对Q_ j应用A，再应用M^{-1}）。 预处理子M需易于求逆（如对角矩阵、稀疏分解），且应捕获A的主要特征。 最小二乘求解 在k维块Krylov子空间中，近似解写作X_ k = X₀ + Q_ k Y_ k，其中Q_ k是由基块堆叠成的n×(km)矩阵，Y_ k是(km)×m矩阵。 残差最小化问题转化为：min ||B - AX_ k||_ F = min ||R₀ - AQ_ k Y_ k||_ F。 利用块Arnoldi关系：AQ_ k = Q_ {k+1} H_ {k+1,k}（其中H_ {k+1,k}是块Hessenberg矩阵），问题简化为min ||H_ {k+1,k} Y_ k - E₁ H₀||_ F，其中E₁是前m列为单位矩阵的块向量。 通过QR分解或Givens旋转求解该小型最小二乘问题，得到Y_ k。 算法流程总结 a. 输入A, B, 预处理子M，初始猜测X₀，容忍误差tol，最大迭代次数k_ max。 b. 计算初始残差R₀ = B - AX₀，并QR分解R₀ = Q₁H₀。 c. 对于j=1到k_ max： 应用预处理：计算W = M^{-1}(AQ_ j)。 块Gram-Schmidt正交化W against Q₁ to Q_ j，得到Q_ {j+1}和H_ {j+1,j}。 更新块Hessenberg矩阵H。 求解最小二乘问题，计算残差范数。若小于tol，则退出循环。 d. 输出解X_ k = X₀ + Q_ k Y_ k。 关键点 块方法通过共享Krylov子空间减少矩阵-向量乘积次数（从m次降至k次）。 预处理是关键，需平衡计算成本与收敛速度。 适用于右端项相关的情况（如扰动问题），此时收敛更快。