其中 $ x_j $ 和 $ w_j $ 是埃尔米特多项式的节点和权重。  

 但直接提取 $ e^{-x^2} $ 会引入发散项 $ e^{x^2} $，需采用替代策略。

 此时可直接应用高斯-埃尔米特公式，令 $ g(x) = h(x) \cos(kx) $，近似为：  

 虚部同理。

 此方法需谨慎选择 $ \alpha $ 以避免数值溢出，通常需结合函数衰减特性试验确定。

高斯-埃尔米特求积公式在傅里叶变换积分中的应用 题目描述 计算傅里叶变换积分 \( I(k) = \int_ {-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i k x} \, dx \) 的实部或虚部时，若被积函数 \( f(x) \) 具有指数衰减特性（例如 \( f(x) = e^{-x^2} \cos(x) \)），直接数值积分可能因振荡因子 \( e^{-i k x} \) 而困难。高斯-埃尔米特求积公式通过匹配权函数 \( e^{-x^2} \) 简化积分，但需处理复指数振荡。本题要求利用高斯-埃尔米特公式高效计算此类积分。 解题步骤 问题分析与公式匹配 高斯-埃尔米特求积公式适用于积分 \( \int_ {-\infty}^{\infty} g(x) e^{-x^2} \, dx \)，其形式为： \[ \int_ {-\infty}^{\infty} g(x) e^{-x^2} \, dx \approx \sum_ {j=1}^n w_ j g(x_ j) \] 其中 \( x_ j \) 和 \( w_ j \) 是埃尔米特多项式的节点和权重。 将傅里叶积分改写为： \[ I(k) = \int_ {-\infty}^{\infty} \left[ f(x) e^{x^2} \right ] e^{-x^2} e^{-i k x} \, dx \] 但直接提取 \( e^{-x^2} \) 会引入发散项 \( e^{x^2} \)，需采用替代策略。 变量替换与实部/虚部分离 将振荡因子拆解：\( e^{-i k x} = \cos(kx) - i \sin(kx) \)，积分分为实部 \( I_ r(k) = \int f(x) \cos(kx) \, dx \) 和虚部 \( I_ i(k) = -\int f(x) \sin(kx) \, dx \)。 若 \( f(x) \) 本身含高斯衰减（如 \( f(x) = h(x) e^{-x^2} \)），则积分化为： \[ I_ r(k) = \int_ {-\infty}^{\infty} h(x) \cos(kx) e^{-x^2} \, dx \] 此时可直接应用高斯-埃尔米特公式，令 \( g(x) = h(x) \cos(kx) \)，近似为： \[ I_ r(k) \approx \sum_ {j=1}^n w_ j h(x_ j) \cos(k x_ j) \] 虚部同理。 处理非高斯衰减函数 若 \( f(x) \) 衰减慢于 \( e^{-x^2} \)（如指数衰减 \( e^{-|x|} \)），需引入缩放因子 \( \alpha \) 进行变量替换：令 \( t = \alpha x \)，调整积分权重： \[ I(k) = \frac{1}{\alpha} \int_ {-\infty}^{\infty} f\left(\frac{t}{\alpha}\right) e^{-i (k/\alpha) t} e^{-t^2} e^{t^2} \, dt \] 此方法需谨慎选择 \( \alpha \) 以避免数值溢出，通常需结合函数衰减特性试验确定。 误差控制与节点数选择 高斯-埃尔米特公式的误差随节点数 \( n \) 增加而减小，但振荡频率 \( k \) 较高时需更多节点。 建议逐步增加 \( n \)（如从 20 开始倍增），比较相邻结果之差，直至相对误差小于阈值（如 \( 10^{-6} \)）。 对于大 \( k \)，可结合驻相法或分段积分策略，在振荡剧烈区域局部加密。 示例计算 以 \( f(x) = e^{-x^2} \cos(x) \)，\( k=2 \) 为例： 实部积分化为 \( I_ r(2) = \int e^{-x^2} \cos(x) \cos(2x) \, dx \)。 直接应用高斯-埃尔米特公式，取 \( n=20 \) 节点，权重 \( w_ j \) 和节点 \( x_ j \) 查表获得，计算加权和。 与解析解对比，调整 \( n \) 至误差达标。 总结 高斯-埃尔米特求积公式通过匹配高斯权函数，为含振荡的傅里叶积分提供了高效计算路径。关键步骤包括振荡因子拆解、衰减特性匹配及自适应节点选择，适用于物理和工程中的频谱分析问题。