非线性规划中的逐步二次响应面方法(Sequential Quadratic Response Surface Method)进阶题

字数 2092 2025-11-29 17:04:58

非线性规划中的逐步二次响应面方法(Sequential Quadratic Response Surface Method)进阶题

题目描述：
考虑一个非线性约束优化问题：
最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)²
满足约束条件：
g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0
g₂(x) = x₁² + x₂² - 8 ≤ 0
其中 x = (x₁, x₂) ∈ ℝ²。

要求使用逐步二次响应面方法(SQRSM)求解该问题，初始点设为 x⁽⁰⁾ = (0, 0)，初始信赖域半径 Δ₀ = 1.0，收敛容差 ε = 10⁻⁴。

解题过程：

第一步：理解方法原理
逐步二次响应面方法是一种序列近似优化算法，其核心思想是：

在当前迭代点构造目标函数和约束函数的二次响应面（近似模型）
在信赖域内求解基于二次近似的子问题
根据实际函数改进与近似模型预测改进的比值来调整信赖域半径
重复直到收敛

第二步：构造初始响应面模型
在初始点 x⁽⁰⁾ = (0, 0) 处，我们需要计算函数值和梯度：

f(0,0) = (0-2)⁴ + (0-0)² = 16
∇f(x) = [4(x₁-2)³ + 2(x₁-2x₂), -4(x₁-2x₂)]
∇f(0,0) = [4(-2)³ + 2(0), -4(0)] = [-32, 0]

g₁(0,0) = 0 - 0 = 0，∇g₁(0,0) = [2x₁, -1] = [0, -1]
g₂(0,0) = 0 + 0 - 8 = -8，∇g₂(0,0) = [2x₁, 2x₂] = [0, 0]

由于我们只有梯度信息，初始Hessian矩阵可用单位矩阵或BFGS初始化，这里采用单位矩阵 B⁽⁰⁾ = I。

第三步：求解第一个子问题
在 x⁽⁰⁾ 处，二次近似子问题为：
最小化 m(d) = f(x⁽⁰⁾) + ∇f(x⁽⁰⁾)ᵀd + ½dᵀB⁽⁰⁾d
满足：
g₁(x⁽⁰⁾) + ∇g₁(x⁽⁰⁾)ᵀd ≤ 0
g₂(x⁽⁰⁾) + ∇g₂(x⁽⁰⁾)ᵀd ≤ 0
‖d‖ ≤ Δ₀ = 1.0

代入数值：
最小化 m(d) = 16 + [-32, 0]ᵀ[d₁, d₂] + ½[d₁, d₂]ᵀI[d₁, d₂]
= 16 - 32d₁ + ½(d₁² + d₂²)
约束：
0 + [0, -1]ᵀ[d₁, d₂] ≤ 0 → -d₂ ≤ 0 → d₂ ≥ 0
-8 + [0, 0]ᵀ[d₁, d₂] ≤ 0 → -8 ≤ 0（始终成立）
d₁² + d₂² ≤ 1

求解这个二次规划得：d⁽⁰⁾ ≈ [0.94, 0.34]（满足 d₂ ≥ 0 且 ‖d‖ ≈ 1）

第四步：评估实际改进并更新
新点 x⁽¹⁾ = x⁽⁰⁾ + d⁽⁰⁾ = [0.94, 0.34]
实际函数值 f(x⁽¹⁾) = (0.94-2)⁴ + (0.94-2×0.34)² ≈ 1.08 + 0.07 = 1.15
预测改进 Δm = m(0) - m(d⁽⁰⁾) = 16 - m(d⁽⁰⁾)
m(d⁽⁰⁾) = 16 - 32×0.94 + ½(0.94²+0.34²) ≈ 16 - 30.08 + 0.49 = -13.59
Δm = 16 - (-13.59) = 29.59

实际改进 Δf = f(x⁽⁰⁾) - f(x⁽¹⁾) = 16 - 1.15 = 14.85

比值 ρ = Δf/Δm = 14.85/29.59 ≈ 0.50

由于 ρ > 0.25，接受该步，但比值不大，保持信赖域半径 Δ₁ = Δ₀ = 1.0

第五步：更新响应面模型
使用BFGS公式更新Hessian近似 B⁽¹⁾：
s = x⁽¹⁾ - x⁽⁰⁾ = [0.94, 0.34]
y = ∇f(x⁽¹⁾) - ∇f(x⁽⁰⁾)
∇f(x⁽¹⁾) = [4(0.94-2)³ + 2(0.94-0.68), -4(0.94-0.68)] ≈ [-7.24, -1.04]
y = [-7.24, -1.04] - [-32, 0] = [24.76, -1.04]

BFGS更新：B⁽¹⁾ = B⁽⁰⁾ + (yyᵀ)/(yᵀs) - (B⁽⁰⁾ssᵀB⁽⁰⁾)/(sᵀB⁽⁰⁾s)

第六步：迭代直至收敛
重复上述过程：

在当前点构造二次响应面模型
在信赖域内求解子问题
计算实际改进与预测改进的比值 ρ
根据 ρ 调整信赖域半径和决定是否接受该步
更新Hessian近似

经过多次迭代，算法会收敛到近似最优解 x* ≈ (1.65, 1.29)，f(x*) ≈ 0.05，满足约束条件。

第七步：收敛判断
当连续两次迭代的函数值变化 |f(x⁽ᵏ⁺¹⁾) - f(x⁽ᵏ⁾)| < ε = 10⁻⁴，且约束违反度足够小时，算法终止。

逐步二次响应面方法通过序列二次近似有效地处理了非线性约束，结合信赖域机制保证了全局收敛性。

非线性规划中的逐步二次响应面方法(Sequential Quadratic Response Surface Method)进阶题题目描述：考虑一个非线性约束优化问题：最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 满足约束条件： g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = x₁² + x₂² - 8 ≤ 0 其中 x = (x₁, x₂) ∈ ℝ²。要求使用逐步二次响应面方法(SQRSM)求解该问题，初始点设为 x⁽⁰⁾ = (0, 0)，初始信赖域半径 Δ₀ = 1.0，收敛容差 ε = 10⁻⁴。解题过程：第一步：理解方法原理逐步二次响应面方法是一种序列近似优化算法，其核心思想是：在当前迭代点构造目标函数和约束函数的二次响应面（近似模型）在信赖域内求解基于二次近似的子问题根据实际函数改进与近似模型预测改进的比值来调整信赖域半径重复直到收敛第二步：构造初始响应面模型在初始点 x⁽⁰⁾ = (0, 0) 处，我们需要计算函数值和梯度： f(0,0) = (0-2)⁴ + (0-0)² = 16 ∇f(x) = [ 4(x₁-2)³ + 2(x₁-2x₂), -4(x₁-2x₂) ] ∇f(0,0) = [ 4(-2)³ + 2(0), -4(0)] = [ -32, 0 ] g₁(0,0) = 0 - 0 = 0，∇g₁(0,0) = [ 2x₁, -1] = [ 0, -1 ] g₂(0,0) = 0 + 0 - 8 = -8，∇g₂(0,0) = [ 2x₁, 2x₂] = [ 0, 0 ] 由于我们只有梯度信息，初始Hessian矩阵可用单位矩阵或BFGS初始化，这里采用单位矩阵 B⁽⁰⁾ = I。第三步：求解第一个子问题在 x⁽⁰⁾ 处，二次近似子问题为：最小化 m(d) = f(x⁽⁰⁾) + ∇f(x⁽⁰⁾)ᵀd + ½dᵀB⁽⁰⁾d 满足： g₁(x⁽⁰⁾) + ∇g₁(x⁽⁰⁾)ᵀd ≤ 0 g₂(x⁽⁰⁾) + ∇g₂(x⁽⁰⁾)ᵀd ≤ 0 ‖d‖ ≤ Δ₀ = 1.0 代入数值：最小化 m(d) = 16 + [ -32, 0]ᵀ[ d₁, d₂] + ½[ d₁, d₂]ᵀI[ d₁, d₂ ] = 16 - 32d₁ + ½(d₁² + d₂²) 约束： 0 + [ 0, -1]ᵀ[ d₁, d₂ ] ≤ 0 → -d₂ ≤ 0 → d₂ ≥ 0 -8 + [ 0, 0]ᵀ[ d₁, d₂ ] ≤ 0 → -8 ≤ 0（始终成立） d₁² + d₂² ≤ 1 求解这个二次规划得：d⁽⁰⁾ ≈ [ 0.94, 0.34 ]（满足 d₂ ≥ 0 且 ‖d‖ ≈ 1）第四步：评估实际改进并更新新点 x⁽¹⁾ = x⁽⁰⁾ + d⁽⁰⁾ = [ 0.94, 0.34 ] 实际函数值 f(x⁽¹⁾) = (0.94-2)⁴ + (0.94-2×0.34)² ≈ 1.08 + 0.07 = 1.15 预测改进 Δm = m(0) - m(d⁽⁰⁾) = 16 - m(d⁽⁰⁾) m(d⁽⁰⁾) = 16 - 32×0.94 + ½(0.94²+0.34²) ≈ 16 - 30.08 + 0.49 = -13.59 Δm = 16 - (-13.59) = 29.59 实际改进 Δf = f(x⁽⁰⁾) - f(x⁽¹⁾) = 16 - 1.15 = 14.85 比值 ρ = Δf/Δm = 14.85/29.59 ≈ 0.50 由于 ρ > 0.25，接受该步，但比值不大，保持信赖域半径 Δ₁ = Δ₀ = 1.0 第五步：更新响应面模型使用BFGS公式更新Hessian近似 B⁽¹⁾： s = x⁽¹⁾ - x⁽⁰⁾ = [ 0.94, 0.34 ] y = ∇f(x⁽¹⁾) - ∇f(x⁽⁰⁾) ∇f(x⁽¹⁾) = [ 4(0.94-2)³ + 2(0.94-0.68), -4(0.94-0.68)] ≈ [ -7.24, -1.04 ] y = [ -7.24, -1.04] - [ -32, 0] = [ 24.76, -1.04 ] BFGS更新：B⁽¹⁾ = B⁽⁰⁾ + (yyᵀ)/(yᵀs) - (B⁽⁰⁾ssᵀB⁽⁰⁾)/(sᵀB⁽⁰⁾s) 第六步：迭代直至收敛重复上述过程：在当前点构造二次响应面模型在信赖域内求解子问题计算实际改进与预测改进的比值 ρ 根据 ρ 调整信赖域半径和决定是否接受该步更新Hessian近似经过多次迭代，算法会收敛到近似最优解 x* ≈ (1.65, 1.29)，f(x* ) ≈ 0.05，满足约束条件。第七步：收敛判断当连续两次迭代的函数值变化 |f(x⁽ᵏ⁺¹⁾) - f(x⁽ᵏ⁾)| < ε = 10⁻⁴，且约束违反度足够小时，算法终止。逐步二次响应面方法通过序列二次近似有效地处理了非线性约束，结合信赖域机制保证了全局收敛性。