分块矩阵的广义极小残差法（GMRES）算法解多重线性方程组
字数 2196 2025-11-29 10:53:00

分块矩阵的广义极小残差法（GMRES）算法解多重线性方程组

问题描述

考虑多重线性方程组：

\[AX = B \]

其中 \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 是一个大型稀疏矩阵（可能非对称），\(B \in \mathbb{R}^{n \times m}\) 是包含 \(m\) 个右端项的矩阵，\(X \in \mathbb{R}^{n \times m}\) 是待求解的未知矩阵。目标是高效求解所有 \(m\) 个线性方程组 \(A x^{(j)} = b^{(j)}\)（\(j=1,\dots,m\)），同时利用分块结构提升计算效率。

解题过程

1. 分块GMRES的基本思想

标准GMRES通过Krylov子空间迭代求解单个线性方程组，但多重右端项时，若独立求解每个方程组会浪费计算资源。分块GMRES的核心思想是：

  • 将多个右端项作为整体处理，构建分块Krylov子空间。
  • 通过一次迭代过程同时更新所有解向量的近似值，共享子空间信息以加速收敛。

2. 分块Krylov子空间的构建

对于初始残差矩阵 \(R_0 = B - A X_0\)（\(X_0\) 为初始猜测），定义分块Krylov子空间：

\[\mathcal{K}_k(A, R_0) = \text{span}\{R_0, A R_0, A^2 R_0, \dots, A^{k-1} R_0\} \]

该子空间由所有右端项对应的残差向量及其矩阵幂的线性组合张成。

3. 分块Arnoldi过程（正交化）

通过分块Arnoldi过程生成子空间的正交基：

  1. 初始规范化：对残差矩阵 \(R_0\) 进行QR分解：

\[ R_0 = V_1 \Sigma_1 \]

其中 \(V_1 \in \mathbb{R}^{n \times m}\) 的列正交（\(\|V_1\|_F = 1\)），\(\Sigma_1 \in \mathbb{R}^{m \times m}\) 是上三角矩阵。
2. 迭代正交化：对于 \(j=1,2,\dots,k\)：

  • 计算 \(W_j = A V_j\)。
  • 对 \(W_j\) 与之前的所有基向量 \(V_1, \dots, V_j\) 进行正交化（使用块Gram-Schmidt或Householder变换）：

\[ H_{i,j} = V_i^T W_j \quad (\text{对于 } i=1,\dots,j) \]

\[ \tilde{V}_{j+1} = W_j - \sum_{i=1}^j V_i H_{i,j} \]

  • 对 \(\tilde{V}_{j+1}\) 进行QR分解：

\[ \tilde{V}_{j+1} = V_{j+1} H_{j+1,j} \]

 其中 $H_{j+1,j} \in \mathbb{R}^{m \times m}$ 是上三角矩阵，$V_{j+1}$ 是新的正交基。

4. 最小二乘问题的形成

经过 \(k\) 步迭代后，近似解 \(X_k\) 可表示为：

\[X_k = X_0 + V_k Y_k \]

其中 \(V_k = [V_1, \dots, V_k] \in \mathbb{R}^{n \times km}\) 是正交基矩阵，\(Y_k \in \mathbb{R}^{km \times m}\) 是待求系数矩阵。残差最小化问题转化为：

\[\min_{Y_k} \| B - A(X_0 + V_k Y_k) \|_F = \min_{Y_k} \| R_0 - A V_k Y_k \|_F \]

利用Arnoldi过程的关系 \(A V_k = V_{k+1} \bar{H}_k\)（\(\bar{H}_k \in \mathbb{R}^{(k+1)m \times km}\) 是块上Hessenberg矩阵），问题变为：

\[\min_{Y_k} \| V_{k+1} (\Sigma_1 e_1 - \bar{H}_k Y_k) \|_F = \min_{Y_k} \| \Sigma_1 e_1 - \bar{H}_k Y_k \|_F \]

其中 \(e_1\) 是块单位矩阵的第一块列。

5. 求解最小二乘问题

通过分块QR分解或Givens旋转将 \(\bar{H}_k\) 化为上三角矩阵，然后回代求解 \(Y_k\)。最终解为：

\[X_k = X_0 + V_k Y_k \]

6. 收敛性与重启策略

  • 若残差 \(\|R_k\|_F\) 小于容忍误差，停止迭代。
  • 对于大型问题，需采用重启分块GMRES：每 \(k\) 步后重置子空间，用当前解 \(X_k\) 作为新的初始猜测继续迭代，避免存储开销过大。

关键优势

  1. 共享子空间：多个右端项协同迭代，减少矩阵-向量乘法的总次数。
  2. 块运算效率：利用BLAS-3级运算（如分块矩阵乘法）提升计算强度。
  3. 预处理扩展：可结合分块预处理子（如块ILU）进一步加速收敛。

通过分块GMRES，多重线性方程组的求解效率显著高于独立处理每个方程组。

分块矩阵的广义极小残差法（GMRES）算法解多重线性方程组 问题描述 考虑多重线性方程组： \[ AX = B \] 其中 \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 是一个大型稀疏矩阵（可能非对称），\(B \in \mathbb{R}^{n \times m}\) 是包含 \(m\) 个右端项的矩阵，\(X \in \mathbb{R}^{n \times m}\) 是待求解的未知矩阵。目标是高效求解所有 \(m\) 个线性方程组 \(A x^{(j)} = b^{(j)}\)（\(j=1,\dots,m\)），同时利用分块结构提升计算效率。 解题过程 1. 分块GMRES的基本思想 标准GMRES通过Krylov子空间迭代求解单个线性方程组，但多重右端项时，若独立求解每个方程组会浪费计算资源。分块GMRES的核心思想是： 将多个右端项作为整体处理，构建 分块Krylov子空间 。 通过一次迭代过程同时更新所有解向量的近似值，共享子空间信息以加速收敛。 2. 分块Krylov子空间的构建 对于初始残差矩阵 \(R_ 0 = B - A X_ 0\)（\(X_ 0\) 为初始猜测），定义分块Krylov子空间： \[ \mathcal{K}_ k(A, R_ 0) = \text{span}\{R_ 0, A R_ 0, A^2 R_ 0, \dots, A^{k-1} R_ 0\} \] 该子空间由所有右端项对应的残差向量及其矩阵幂的线性组合张成。 3. 分块Arnoldi过程（正交化） 通过分块Arnoldi过程生成子空间的正交基： 初始规范化 ：对残差矩阵 \(R_ 0\) 进行QR分解： \[ R_ 0 = V_ 1 \Sigma_ 1 \] 其中 \(V_ 1 \in \mathbb{R}^{n \times m}\) 的列正交（\(\|V_ 1\|_ F = 1\)），\(\Sigma_ 1 \in \mathbb{R}^{m \times m}\) 是上三角矩阵。 迭代正交化 ：对于 \(j=1,2,\dots,k\)： 计算 \(W_ j = A V_ j\)。 对 \(W_ j\) 与之前的所有基向量 \(V_ 1, \dots, V_ j\) 进行正交化（使用块Gram-Schmidt或Householder变换）： \[ H_ {i,j} = V_ i^T W_ j \quad (\text{对于 } i=1,\dots,j) \] \[ \tilde{V} {j+1} = W_ j - \sum {i=1}^j V_ i H_ {i,j} \] 对 \(\tilde{V} {j+1}\) 进行QR分解： \[ \tilde{V} {j+1} = V_ {j+1} H_ {j+1,j} \] 其中 \(H_ {j+1,j} \in \mathbb{R}^{m \times m}\) 是上三角矩阵，\(V_ {j+1}\) 是新的正交基。 4. 最小二乘问题的形成 经过 \(k\) 步迭代后，近似解 \(X_ k\) 可表示为： \[ X_ k = X_ 0 + V_ k Y_ k \] 其中 \(V_ k = [ V_ 1, \dots, V_ k] \in \mathbb{R}^{n \times km}\) 是正交基矩阵，\(Y_ k \in \mathbb{R}^{km \times m}\) 是待求系数矩阵。残差最小化问题转化为： \[ \min_ {Y_ k} \| B - A(X_ 0 + V_ k Y_ k) \| F = \min {Y_ k} \| R_ 0 - A V_ k Y_ k \| F \] 利用Arnoldi过程的关系 \(A V_ k = V {k+1} \bar{H} k\)（\(\bar{H} k \in \mathbb{R}^{(k+1)m \times km}\) 是块上Hessenberg矩阵），问题变为： \[ \min {Y_ k} \| V {k+1} (\Sigma_ 1 e_ 1 - \bar{H}_ k Y_ k) \| F = \min {Y_ k} \| \Sigma_ 1 e_ 1 - \bar{H}_ k Y_ k \|_ F \] 其中 \(e_ 1\) 是块单位矩阵的第一块列。 5. 求解最小二乘问题 通过分块QR分解或Givens旋转将 \(\bar{H}_ k\) 化为上三角矩阵，然后回代求解 \(Y_ k\)。最终解为： \[ X_ k = X_ 0 + V_ k Y_ k \] 6. 收敛性与重启策略 若残差 \(\|R_ k\|_ F\) 小于容忍误差，停止迭代。 对于大型问题，需采用 重启分块GMRES ：每 \(k\) 步后重置子空间，用当前解 \(X_ k\) 作为新的初始猜测继续迭代，避免存储开销过大。 关键优势 共享子空间 ：多个右端项协同迭代，减少矩阵-向量乘法的总次数。 块运算效率 ：利用BLAS-3级运算（如分块矩阵乘法）提升计算强度。 预处理扩展 ：可结合分块预处理子（如块ILU）进一步加速收敛。 通过分块GMRES，多重线性方程组的求解效率显著高于独立处理每个方程组。