核岭回归（Kernel Ridge Regression）的核技巧应用与优化过程

题目描述
核岭回归（Kernel Ridge Regression, KRR）是结合岭回归（Ridge Regression）的正则化思想和核技巧（Kernel Trick）的机器学习算法。它通过核函数将输入数据映射到高维特征空间，并在该空间中求解线性岭回归问题，从而处理非线性关系。核心挑战在于：如何在高维空间中避免显式特征映射的计算开销，并有效控制过拟合。

解题过程

1. 问题形式化
   • 给定训练集 \(\{(x_i, y_i)\}_{i=1}^n\)，其中 \(x_i \in \mathbb{R}^d\)，\(y_i \in \mathbb{R}\)。
   • 岭回归的目标函数为：

\[ \min_{w \in \mathbb{R}^d} \sum_{i=1}^n (y_i - w^T x_i)^2 + \lambda \|w\|^2, \]

 其中 $\lambda > 0$ 是正则化系数。  

• 为引入非线性，通过特征映射 \(\phi(x)\) 将输入映射到高维空间，问题变为：

\[ \min_{w \in \mathcal{H}} \sum_{i=1}^n (y_i - w^T \phi(x_i))^2 + \lambda \|w\|^2, \]

 其中 $\mathcal{H}$ 是特征空间。直接求解需计算高维向量 $w$ 和 $\phi(x_i)$，计算成本高。

2. 核技巧应用
   • 根据表示定理（Representer Theorem），最优解 \(w^*\) 可表示为样本的线性组合：

\[ w^* = \sum_{j=1}^n \alpha_j \phi(x_j). \]

• 代入目标函数，将内积 \(\phi(x_i)^T \phi(x_j)\) 替换为核函数 \(K(x_i, x_j)\)：

\[ \min_{\alpha \in \mathbb{R}^n} \sum_{i=1}^n \left( y_i - \sum_{j=1}^n \alpha_j K(x_i, x_j) \right)^2 + \lambda \sum_{i,j=1}^n \alpha_i \alpha_j K(x_i, x_j). \]

• 定义核矩阵 \(K \in \mathbb{R}^{n \times n}\)，其中 \(K_{ij} = K(x_i, x_j)\)，目标函数简化为：

\[ \min_{\alpha} \|y - K\alpha\|^2 + \lambda \alpha^T K \alpha. \]

 此形式仅依赖核矩阵，无需显式计算 $\phi(x)$。

3. 优化求解
   • 目标函数是凸函数，求梯度并令其为零：

\[ \frac{\partial}{\partial \alpha} \left( (y - K\alpha)^T(y - K\alpha) + \lambda \alpha^T K \alpha \right) = 0. \]

• 展开后得：

\[ -2K^T(y - K\alpha) + 2\lambda K \alpha = 0. \]

 由于 $K$ 对称，化简为：  

\[ (K + \lambda I) \alpha = y. \]

• 解线性方程组：

\[ \alpha = (K + \lambda I)^{-1} y. \]

 矩阵 $K + \lambda I$ 正定，保证解唯一稳定。

4. 预测与新样本处理
   • 对新样本 \(x\) 的预测为：

\[ f(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j K(x, x_j) = K_x^T \alpha, \]

 其中 $K_x = [K(x, x_1), \dots, K(x, x_n)]^T$。  

• 核函数需满足Mercer条件（如高斯核、多项式核），确保核矩阵半正定。

5. 复杂度与正则化作用
   • 计算瓶颈在于求逆 \((K + \lambda I)^{-1}\)，复杂度 \(O(n^3)\)，适用于中小数据集。
   • 正则化项 \(\lambda \alpha^T K \alpha\) 等价于 \(\lambda \|w\|^2\)，抑制权重过大，防止过拟合。

总结
核岭回归通过核技巧隐式学习非线性模式，兼顾岭回归的稳定性与核方法的灵活性。其核心是将高维问题转化为核矩阵运算，适用于非线性回归任务，但需注意样本量较大时的计算开销。