高斯-勒让德求积公式在带振荡衰减函数积分中的自适应区域分解技巧

题目描述
计算半无穷区间上的振荡衰减函数积分：

\[I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin(10x) \, dx \]

该被积函数同时具有指数衰减（\(e^{-x}\)）和快速振荡（\(\sin(10x)\)）特性。若直接使用高斯-拉盖尔求积公式（针对\(e^{-x}\)权函数），振荡部分会导致节点不足时误差较大。需要结合高斯-勒让德求积公式与自适应区域分解策略，在振荡频繁区间加密节点。

解题步骤

1. 问题分析与变换
   • 振荡衰减函数在区间\([0, \infty)\)的积分需处理两个挑战：
     1. 无穷区间：通过变量替换将区间有限化。
     2. 振荡特性：在振荡频繁的子区间增加采样点。
   • 令\(t = e^{-x}\)，则\(x = -\ln t\)，\(dx = -dt/t\)，积分变为：

\[ I = \int_{1}^{0} t \cdot \sin(-10\ln t) \cdot \left(-\frac{dt}{t}\right) = \int_{0}^{1} \sin(10\ln(1/t)) \, dt \]

 此时积分区间变为有限区间$[0,1]$，但被积函数在$t \to 0^+$（对应$x \to \infty$）时振荡加剧（因$\ln(1/t)$增长）。

2. 自适应区域分解策略

   • 在\(t\)-空间（即\([0,1]\)）内，根据振荡频率动态划分子区间：
     • 振荡频率由相位函数\(\phi(t) = 10\ln(1/t)\)的导数决定：\(|\phi'(t)| = 10/t\)。
     • 在\(t\)较小处（如\(t < 0.1\)），频率较高，需更细的区间划分；在\(t\)较大处（如\(t > 0.5\)），频率较低，可用较粗划分。
   • 设置误差阈值（如\(10^{-8}\)），递归将区间二分，直到每个子区间上的积分误差满足精度要求。

3. 子区间积分方法

   • 在每个子区间\([a,b] \subset [0,1]\)上，使用高斯-勒让德求积公式：
     • 将子区间线性映射到标准区间\([-1,1]\)：令\(u = \frac{2t - (a+b)}{b-a}\)。
     • 积分近似为：

\[ \int_{a}^{b} f(t) \, dt \approx \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^{n} w_i f\left(\frac{(b-a)u_i + (a+b)}{2}\right) \]

   其中$u_i$和$w_i$为$n$点高斯-勒让德求积的节点和权重。  

• 选择节点数\(n\)：在振荡频繁区间（如\(t < 0.1\)）使用较高\(n\)（如\(n=20\)），在平滑区间使用较低\(n\)（如\(n=5\)）。

4. 误差控制与递归终止

   • 在子区间\([a,b]\)上，计算两个精度结果：
     • \(I_1\)：用\(n\)点高斯-勒让德公式的结果。
     • \(I_2\)：将区间二分后，左右两半分别用\(n\)点公式求和的结果。
   • 若\(|I_1 - I_2| < \epsilon \cdot (b-a)\)（\(\epsilon\)为全局误差容限），则接受\(I_2\)；否则递归二分区间。

5. 全局积分合成

   • 将所有子区间的积分结果相加，得到全局积分近似值：

\[ I \approx \sum_{k=1}^{N} I_{[a_k, b_k]} \]

 其中$N$为最终划分的子区间数。

示例计算
对\(I = \int_{0}^{1} \sin(10\ln(1/t)) \, dt\)：

• 在\(t=0\)附近，划分更密（如\([0, 0.001], [0.001, 0.01], [0.01, 0.1]\)）。
• 在\(t=0.1\)以上，划分较疏（如\([0.1, 0.5], [0.5, 1]\)）。
• 每个子区间用高斯-勒让德公式计算，最终合成结果与解析解\(I = \frac{10}{101} \approx 0.09901\)比较，误差可控制在\(10^{-8}\)以内。

总结
通过自适应区域分解，高斯-勒让德求积公式可有效处理振荡衰减函数的积分问题，关键是在振荡剧烈区域动态增加节点，平衡计算效率与精度。