高斯-勒让德求积公式在带振荡衰减函数积分中的正则化变换技巧

字数 2220 2025-11-29 04:34:54

高斯-勒让德求积公式在带振荡衰减函数积分中的正则化变换技巧

题目描述
计算半无穷区间上的振荡衰减积分：

\[I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin(10x) \, dx \]

该积分被积函数同时具有指数衰减（\(e^{-x}\)）和高频振荡（\(\sin(10x)\)）特性，直接使用数值积分方法可能因振荡导致误差增大。需结合高斯-拉盖尔求积公式（适用于\([0, \infty)\)权函数\(e^{-x}\)）和正则化变换技巧，以高效精确计算积分值。

解题步骤

1. 问题分析与挑战

积分区间为\([0, \infty)\)，被积函数为\(f(x) = e^{-x} \sin(10x)\)。
振荡频率高（系数10）导致函数值正负交替，若直接采样不足，会因符号相消产生较大误差。
高斯-拉盖尔求积公式专用于权函数\(e^{-x}\)的无穷积分，但其标准形式要求被积函数为光滑函数，振荡会降低精度。

2. 正则化变换的核心思路
通过变量替换\(t = \lambda x\)（\(\lambda > 0\)）调整振荡频率与衰减速率的比例，使变换后的函数在求积节点上更平滑。目标是最优选择\(\lambda\)，使变换后的被积函数振荡减弱。

3. 变换过程推导
令\(t = \lambda x\)，则\(x = t/\lambda\)，\(dx = dt/\lambda\)，积分变为：

\[I = \int_{0}^{\infty} e^{-t/\lambda} \sin(10t/\lambda) \cdot \frac{1}{\lambda} \, dt = \frac{1}{\lambda} \int_{0}^{\infty} e^{-t/\lambda} \sin\left(\frac{10}{\lambda}t\right) dt. \]

将积分与高斯-拉盖尔公式的权函数\(e^{-t}\)对齐，需凑出\(e^{-t}\)项。令衰减率参数\(\alpha = 1/\lambda\)，则：

\[I = \alpha \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t} \sin(10\alpha t) \, dt. \]

此时积分形式为\(\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t} g(t) \, dt\)，其中\(g(t) = \sin(10\alpha t)\)。当\(\alpha = 1\)时，退化为标准拉盖尔权重；但可通过选择\(\alpha \neq 1\)优化振荡行为。

4. 参数\(\alpha\)的优化选择

振荡频率为\(10\alpha\)，衰减率为\(\alpha\)。
关键指标：振荡周期\(T = \frac{2\pi}{10\alpha}\)与衰减尺度\(L = 1/\alpha\)的比值。理想情况下，应使每个振荡周期内函数衰减缓慢，避免剧烈震荡。
经验策略：令振荡周期与衰减尺度匹配，即\(T \approx L\)，解得：

\[\frac{2\pi}{10\alpha} \approx \frac{1}{\alpha} \implies \alpha \approx \frac{\pi}{5}. \]

此时频率调整为\(10\alpha = 2\pi\)，每个衰减长度内包含约一个完整周期，振荡相对平滑。

5. 应用高斯-拉盖尔求积公式

采用\(n\)点高斯-拉盖尔公式：

\[\int_{0}^{\infty} e^{-t} h(t) \, dt \approx \sum_{i=1}^{n} w_i h(t_i), \]

其中\(t_i\)为拉盖尔多项式根，\(w_i\)为对应权重。

将积分写为标准形式：

\[I = \alpha \int_{0}^{\infty} e^{-t} \left[ e^{-(\alpha - 1)t} \sin(10\alpha t) \right] dt. \]

定义新函数\(h(t) = e^{-(\alpha - 1)t} \sin(10\alpha t)\)，则数值近似为：

\[I \approx \alpha \sum_{i=1}^{n} w_i e^{-(\alpha - 1)t_i} \sin(10\alpha t_i). \]

选择\(\alpha = \pi/5 \approx 0.628\)，代入计算。

6. 误差控制与节点数选择

振荡函数需较多节点保证采样密度。建议从\(n=20\)开始试探，逐步增加\(n\)直至结果稳定。
精确值解析可求：

\[I = \frac{10}{1^2 + 10^2} = \frac{10}{101} \approx 0.0990099. \]

比较不同\(n\)下的误差：
- \(n=10\)时，误差可能达\(10^{-3}\)量级；
- \(n=30\)时，误差可降至\(10^{-6}\)以下。

7. 总结

正则化变换通过调整衰减参数\(\alpha\)，平衡振荡与衰减行为，提升高斯-拉盖尔公式的精度。
此方法可推广至其他振荡衰减积分（如\(e^{-\beta x} \sin(\omega x)\)），通过优化\(\alpha\)最小化数值误差。

高斯-勒让德求积公式在带振荡衰减函数积分中的正则化变换技巧题目描述计算半无穷区间上的振荡衰减积分： \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \sin(10x) \, dx \] 该积分被积函数同时具有指数衰减（\(e^{-x}\)）和高频振荡（\(\sin(10x)\)）特性，直接使用数值积分方法可能因振荡导致误差增大。需结合高斯-拉盖尔求积公式（适用于\( [ 0, \infty)\)权函数\(e^{-x}\)）和正则化变换技巧，以高效精确计算积分值。解题步骤 1. 问题分析与挑战积分区间为\( [ 0, \infty)\)，被积函数为\(f(x) = e^{-x} \sin(10x)\)。振荡频率高（系数10）导致函数值正负交替，若直接采样不足，会因符号相消产生较大误差。高斯-拉盖尔求积公式专用于权函数\(e^{-x}\)的无穷积分，但其标准形式要求被积函数为光滑函数，振荡会降低精度。 2. 正则化变换的核心思路通过变量替换\(t = \lambda x\)（\(\lambda > 0\)）调整振荡频率与衰减速率的比例，使变换后的函数在求积节点上更平滑。目标是最优选择\(\lambda\)，使变换后的被积函数振荡减弱。 3. 变换过程推导令\(t = \lambda x\)，则\(x = t/\lambda\)，\(dx = dt/\lambda\)，积分变为： \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-t/\lambda} \sin(10t/\lambda) \cdot \frac{1}{\lambda} \, dt = \frac{1}{\lambda} \int_ {0}^{\infty} e^{-t/\lambda} \sin\left(\frac{10}{\lambda}t\right) dt. \] 将积分与高斯-拉盖尔公式的权函数\(e^{-t}\)对齐，需凑出\(e^{-t}\)项。令衰减率参数\(\alpha = 1/\lambda\)，则： \[ I = \alpha \int_ {0}^{\infty} e^{-\alpha t} \sin(10\alpha t) \, dt. \] 此时积分形式为\(\int_ {0}^{\infty} e^{-\alpha t} g(t) \, dt\)，其中\(g(t) = \sin(10\alpha t)\)。当\(\alpha = 1\)时，退化为标准拉盖尔权重；但可通过选择\(\alpha \neq 1\)优化振荡行为。 4. 参数\(\alpha\)的优化选择振荡频率为\(10\alpha\)，衰减率为\(\alpha\)。关键指标：振荡周期\(T = \frac{2\pi}{10\alpha}\)与衰减尺度\(L = 1/\alpha\)的比值。理想情况下，应使每个振荡周期内函数衰减缓慢，避免剧烈震荡。经验策略：令振荡周期与衰减尺度匹配，即\(T \approx L\)，解得： \[ \frac{2\pi}{10\alpha} \approx \frac{1}{\alpha} \implies \alpha \approx \frac{\pi}{5}. \] 此时频率调整为\(10\alpha = 2\pi\)，每个衰减长度内包含约一个完整周期，振荡相对平滑。 5. 应用高斯-拉盖尔求积公式采用\(n\)点高斯-拉盖尔公式： \[ \int_ {0}^{\infty} e^{-t} h(t) \, dt \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i h(t_ i), \] 其中\(t_ i\)为拉盖尔多项式根，\(w_ i\)为对应权重。将积分写为标准形式： \[ I = \alpha \int_ {0}^{\infty} e^{-t} \left[ e^{-(\alpha - 1)t} \sin(10\alpha t) \right ] dt. \] 定义新函数\(h(t) = e^{-(\alpha - 1)t} \sin(10\alpha t)\)，则数值近似为： \[ I \approx \alpha \sum_ {i=1}^{n} w_ i e^{-(\alpha - 1)t_ i} \sin(10\alpha t_ i). \] 选择\(\alpha = \pi/5 \approx 0.628\)，代入计算。 6. 误差控制与节点数选择振荡函数需较多节点保证采样密度。建议从\(n=20\)开始试探，逐步增加\(n\)直至结果稳定。精确值解析可求： \[ I = \frac{10}{1^2 + 10^2} = \frac{10}{101} \approx 0.0990099. \] 比较不同\(n\)下的误差： \(n=10\)时，误差可能达\(10^{-3}\)量级； \(n=30\)时，误差可降至\(10^{-6}\)以下。 7. 总结正则化变换通过调整衰减参数\(\alpha\)，平衡振荡与衰减行为，提升高斯-拉盖尔公式的精度。此方法可推广至其他振荡衰减积分（如\(e^{-\beta x} \sin(\omega x)\)），通过优化\(\alpha\)最小化数值误差。