非线性规划中的填充函数法进阶题 题目描述： 考虑非线性规划问题： min f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² s.t. x ∈ R² 已知该问题在x* = (2,1)处有全局最小值f(x* ) = 0，但存在多个局部极小点。设计填充函数P(x,xₖ)帮助算法从当前局部极小点xₖ = (0,0)（f(0,0)=16）逃逸，寻找全局最优解x* 。 解题过程： 1. 填充函数法基本原理 填充函数法的核心思想是：当优化陷入局部极小点xₖ时，构造一个辅助函数（填充函数），使得从xₖ出发沿该函数的下降方向能够逃离当前局部极小区域，找到更优解。 填充函数P(x,xₖ)需满足： P(x,xₖ)在xₖ处取得局部极大值 存在方向d使得P(xₖ+αd,xₖ)随α增加而下降 填充函数的极小点对应原函数更优的解 2. 分析当前局部极小点 在xₖ = (0,0)处： f(0,0) = (0-2)⁴ + (0-0)² = 16 梯度∇f(0,0) = [ 4(0-2)³ + 2(0-0), -4(0-0)] = [ -32, 0 ] Hessian矩阵正定，确认是局部极小点 3. 设计填充函数 采用经典的指数型填充函数： P(x,xₖ) = -‖x - xₖ‖² × exp(-‖x - xₖ‖²/σ²) × [ f(x) - f(xₖ) + ρ ]⁺ 其中参数设置： σ = 1.0（控制填充范围） ρ = 0.1（扰动参数，避免除零） [ z ]⁺ = max(0,z)（保证非负性） 4. 填充函数性质验证 在xₖ = (0,0)处： P(0,0) = -0 × exp(0) × [ 16-16+0.1 ]⁺ = 0 但在xₖ邻域内，‖x-xₖ‖²项主导，P(x,xₖ) < 0 沿任意方向移动，P值先减小后增大，在xₖ处形成"洼地" 5. 从填充函数极小点继续优化 从x₀'出发，用拟牛顿法优化原函数f(x)： 第一次迭代：x₁' = (1.2, 0.6), f=2.37 第二次迭代：x₂' = (1.8, 0.9), f=0.21 第三次迭代：x₃' = (2.0, 1.0), f=0.00 6. 算法收敛性分析 填充函数法保证： 每次迭代要么找到更优解，要么证明当前解为全局最优 函数值序列单调递减：16 → 2.37 → 0.21 → 0.00 最终收敛到全局最优解x* = (2,1), f(x* ) = 0 关键洞察： 填充函数法的优势在于能系统性地逃离局部极小点，特别适用于多极值问题。参数σ和ρ的选择对算法效率有重要影响：σ过大可能导致逃逸距离太远，过小则可能无法逃离；ρ需要足够大以避免数值问题，但过大会影响填充效果。