非线性规划中的序列二次约束二次规划（SQCQP）算法进阶题

字数 2032 2025-11-28 22:31:24

非线性规划中的序列二次约束二次规划（SQCQP）算法进阶题

题目描述
考虑非线性规划问题：
最小化 \(f(x)\)
满足约束 \(g_i(x) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m\)，
其中 \(f\) 和 \(g_i\) 是光滑但可能非凸的函数。序列二次约束二次规划（SQCQP）通过迭代求解一系列二次约束二次规划（QCQP）子问题来逼近原问题。每个子问题在当前点 \(x_k\) 构造，目标函数为二次近似，约束为线性或二次近似。要求设计一个SQCQP算法，处理非凸约束时能保证收敛，并分析其超线性收敛条件。

解题过程

子问题构造
- 在第 \(k\) 次迭代中，在当前点 \(x_k\) 构造子问题。目标函数用二阶泰勒展开近似：

\[ \tilde{f}_k(d) = f(x_k) + \nabla f(x_k)^T d + \frac{1}{2} d^T B_k d, \]

 其中 $ d = x - x_k $，$ B_k $ 是Hessian $ \nabla^2 f(x_k) $ 或其拟牛顿近似（如BFGS矩阵）。

对于约束 \(g_i(x) \leq 0\)，若 \(g_i\) 非凸，采用二次近似（保留曲率信息）：

\[ \tilde{g}_i(d) = g_i(x_k) + \nabla g_i(x_k)^T d + \frac{1}{2} d^T \nabla^2 g_i(x_k) d \leq 0. \]

 若 $ g_i $ 凸，可简化为线性近似 $ g_i(x_k) + \nabla g_i(x_k)^T d \leq 0 $ 以降低计算成本。

子问题是一个QCQP：

\[ \min_d \tilde{f}_k(d) \quad \text{s.t.} \quad \tilde{g}_i(d) \leq 0, \quad i=1,\dots,m. \]

可行性保持机制
- 非凸二次约束可能导致子问题不可行。为此，引入松弛变量 \(s \geq 0\) 或信赖域约束 \(\|d\| \leq \Delta_k\)。
- 例如，添加信赖域约束 \(\|d\|_\infty \leq \Delta_k\)，其中半径 \(\Delta_k\) 根据迭代效果自适应调整（类似信赖域方法）。
- 子问题变为：

\[ \min_{d, s} \tilde{f}_k(d) + \mu s \quad \text{s.t.} \quad \tilde{g}_i(d) \leq s, \ s \geq 0, \ \|d\| \leq \Delta_k, \]

 其中 $ \mu > 0 $ 是惩罚参数，$ s $ 松弛约束违反度。

子问题求解与步长接受
- 使用QCQP求解器（如内点法）解子问题，得到步长 \(d_k\)。
- 计算实际下降量 \(\text{ared} = f(x_k) - f(x_k + d_k)\) 和预测下降量 \(\text{pred} = \tilde{f}_k(0) - \tilde{f}_k(d_k)\)。
- 定义比值 \(\rho_k = \frac{\text{ared}}{\text{pred}}\)。若 \(\rho_k > \eta\)（如 \(\eta = 0.01\)），接受步长 \(x_{k+1} = x_k + d_k\)；否则拒绝步长并缩小信赖域半径 \(\Delta_k\)。
收敛性分析
- 超线性收敛需满足：
  - Hessian近似 \(B_k\) 超线性逼近真Hessian（如通过BFGS更新）。
  - 约束近似误差在解点附近快速衰减，即 \(\|\nabla^2 g_i(x_k) - \nabla^2 g_i(x^*)\| \to 0\)。
  - 严格互补性条件成立（在解点 \(x^*\)，积极约束的梯度线性无关，且拉格朗日乘子非零）。
- 在适当条件下，算法局部收敛速度为超线性。
算法流程总结
- 输入：初始点 \(x_0\)，初始半径 \(\Delta_0 > 0\)，参数 \(\eta \in (0,1)\)。
- 循环直到收敛：
  1. 构造QCQP子问题（含信赖域约束）。
  2. 求解子问题得 \(d_k\)。
  3. 计算比值 \(\rho_k\)，按规则接受/拒绝步长并调整 \(\Delta_k\)。
  4. 更新 \(B_k\)（拟牛顿法）。
- 输出：近似解 \(x_k\)。

关键点：SQCQP通过高阶近似约束处理非凸性，结合信赖域机制保证稳定性，其超线性收敛依赖于Hessian近似精度和约束规范性条件。

非线性规划中的序列二次约束二次规划（SQCQP）算法进阶题题目描述考虑非线性规划问题：最小化 \( f(x) \) 满足约束 \( g_ i(x) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m \)，其中 \( f \) 和 \( g_ i \) 是光滑但可能非凸的函数。序列二次约束二次规划（SQCQP）通过迭代求解一系列二次约束二次规划（QCQP）子问题来逼近原问题。每个子问题在当前点 \( x_ k \) 构造，目标函数为二次近似，约束为线性或二次近似。要求设计一个SQCQP算法，处理非凸约束时能保证收敛，并分析其超线性收敛条件。解题过程子问题构造在第 \( k \) 次迭代中，在当前点 \( x_ k \) 构造子问题。目标函数用二阶泰勒展开近似： \[ \tilde{f}_ k(d) = f(x_ k) + \nabla f(x_ k)^T d + \frac{1}{2} d^T B_ k d, \] 其中 \( d = x - x_ k \)，\( B_ k \) 是Hessian \( \nabla^2 f(x_ k) \) 或其拟牛顿近似（如BFGS矩阵）。对于约束 \( g_ i(x) \leq 0 \)，若 \( g_ i \) 非凸，采用二次近似（保留曲率信息）： \[ \tilde{g}_ i(d) = g_ i(x_ k) + \nabla g_ i(x_ k)^T d + \frac{1}{2} d^T \nabla^2 g_ i(x_ k) d \leq 0. \] 若 \( g_ i \) 凸，可简化为线性近似 \( g_ i(x_ k) + \nabla g_ i(x_ k)^T d \leq 0 \) 以降低计算成本。子问题是一个QCQP： \[ \min_ d \tilde{f}_ k(d) \quad \text{s.t.} \quad \tilde{g}_ i(d) \leq 0, \quad i=1,\dots,m. \] 可行性保持机制非凸二次约束可能导致子问题不可行。为此，引入松弛变量 \( s \geq 0 \) 或信赖域约束 \( \|d\| \leq \Delta_ k \)。例如，添加信赖域约束 \( \|d\|_ \infty \leq \Delta_ k \)，其中半径 \( \Delta_ k \) 根据迭代效果自适应调整（类似信赖域方法）。子问题变为： \[ \min_ {d, s} \tilde{f}_ k(d) + \mu s \quad \text{s.t.} \quad \tilde{g}_ i(d) \leq s, \ s \geq 0, \ \|d\| \leq \Delta_ k, \] 其中 \( \mu > 0 \) 是惩罚参数，\( s \) 松弛约束违反度。子问题求解与步长接受使用QCQP求解器（如内点法）解子问题，得到步长 \( d_ k \)。计算实际下降量 \( \text{ared} = f(x_ k) - f(x_ k + d_ k) \) 和预测下降量 \( \text{pred} = \tilde{f}_ k(0) - \tilde{f}_ k(d_ k) \)。定义比值 \( \rho_ k = \frac{\text{ared}}{\text{pred}} \)。若 \( \rho_ k > \eta \)（如 \( \eta = 0.01 \)），接受步长 \( x_ {k+1} = x_ k + d_ k \)；否则拒绝步长并缩小信赖域半径 \( \Delta_ k \)。收敛性分析超线性收敛需满足： Hessian近似 \( B_ k \) 超线性逼近真Hessian（如通过BFGS更新）。约束近似误差在解点附近快速衰减，即 \( \|\nabla^2 g_ i(x_ k) - \nabla^2 g_ i(x^* )\| \to 0 \)。严格互补性条件成立（在解点 \( x^* \)，积极约束的梯度线性无关，且拉格朗日乘子非零）。在适当条件下，算法局部收敛速度为超线性。算法流程总结输入：初始点 \( x_ 0 \)，初始半径 \( \Delta_ 0 > 0 \)，参数 \( \eta \in (0,1) \)。循环直到收敛：构造QCQP子问题（含信赖域约束）。求解子问题得 \( d_ k \)。计算比值 \( \rho_ k \)，按规则接受/拒绝步长并调整 \( \Delta_ k \)。更新 \( B_ k \)（拟牛顿法）。输出：近似解 \( x_ k \)。关键点：SQCQP通过高阶近似约束处理非凸性，结合信赖域机制保证稳定性，其超线性收敛依赖于Hessian近似精度和约束规范性条件。