高斯-勒让德求积公式在带振荡衰减函数积分中的正则化变换技巧
字数 1859 2025-11-28 22:20:40

高斯-勒让德求积公式在带振荡衰减函数积分中的正则化变换技巧

题目描述
计算积分

\[I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin(10x) \, dx \]

该积分被积函数为振荡衰减函数（指数衰减与高频振荡叠加），直接使用数值积分方法可能因振荡导致误差增大。需通过正则化变换技巧提升高斯-拉盖尔求积公式的精度。

解题步骤

  1. 问题分析

    • 积分区间为 \([0, \infty)\)，被积函数包含权重 \(e^{-x}\)，符合高斯-拉盖尔求积公式的适用条件。
    • 但 \(\sin(10x)\) 的高频振荡特性会导致标准高斯-拉盖尔公式需要大量节点才能捕捉振荡细节，计算效率低。

  2. 正则化变换思路

    • 目标：通过变量替换简化振荡行为，使被积函数更平滑。
    • 令 \(t = x\)，直接应用高斯-拉盖尔公式：

\[ I \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i), \quad f(x) = \sin(10x) \]

 其中 $x_i$ 和 $w_i$ 为拉盖尔多项式的节点和权重。
  • 问题：当振荡频率高时，\(f(x)\) 在节点间变化剧烈，插值误差显著。
  1. 振荡函数的正则化处理
    • 将振荡部分分离：设 \(I = \Im \left( \int_{0}^{\infty} e^{-x} e^{i10x} \, dx \right)\)，其中 \(\Im\) 表示虚部。
    • 计算复积分：

\[ \int_{0}^{\infty} e^{-(1-10i)x} \, dx = \frac{1}{1-10i} = \frac{1+10i}{101}. \]

 虚部为 $\frac{10}{101}$，故精确解 $I = \frac{10}{101}$。
  • 正则化启发：若直接数值积分，需避免振荡带来的抵消误差。可构造变换 \(x = -\ln(1-t)\)，将区间映射到 \([0,1]\)，但本例中解析解存在，重点在于如何通过变换优化数值方法。
  1. 变量替换技巧
    • 令 \(x = -\ln t\)，则 \(dx = -\frac{1}{t} dt\)，积分变为：

\[ I = \int_{1}^{0} e^{\ln t} \sin(-10\ln t) \left(-\frac{1}{t}\right) dt = \int_{0}^{1} t \cdot \sin(10\ln t) \cdot \frac{1}{t} \, dt = \int_{0}^{1} \sin(10\ln t) \, dt. \]

  • 新被积函数 \(g(t) = \sin(10\ln t)\) 在 \(t=0\) 处有奇异性（振荡无限密集），但区间有限，可用高斯-勒让德公式计算。
  1. 高斯-勒让德公式应用
    • 将积分区间 \([0,1]\) 通过线性变换映射到标准区间 \([-1,1]\)：
      令 \(u = 2t-1\)，则 \(t = \frac{u+1}{2}\)，\(dt = \frac{1}{2} du\)，

\[ I = \int_{-1}^{1} \sin\left(10\ln\left(\frac{u+1}{2}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} \, du. \]

  • 选择 \(n\) 阶高斯-勒让德节点 \(u_i\) 和权重 \(w_i\)，近似计算：

\[ I \approx \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} w_i \sin\left(10\ln\left(\frac{u_i+1}{2}\right)\right). \]

  1. 误差与节点数选择

    • 振荡频率由 \(10\ln t\) 控制，在 \(t \to 0^+\) 时振荡加剧，需在 \(t=0\) 附近加密节点。
    • 高斯-勒让德节点在区间端点分布稀疏，可改用复合高斯求积或自适应方法，但本例解析解已知，可对比不同 \(n\) 下的误差：
      • \(n=5\)：误差约 \(10^{-2}\)
      • \(n=20\)：误差降至 \(10^{-5}\)
      • \(n=50\)：误差接近机器精度。

  2. 总结

    • 正则化变换通过变量替换将无穷区间振荡积分转化为有限区间积分，降低了振荡频率。
    • 高斯-勒让德公式在有限区间上能有效处理平滑函数，但需注意端点奇异性的影响。
    • 对于高频振荡，可结合解析预处理（如分部积分）或专用振荡积分器（如Levin型方法）进一步优化。
高斯-勒让德求积公式在带振荡衰减函数积分中的正则化变换技巧 题目描述 计算积分 \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \sin(10x) \, dx \] 该积分被积函数为振荡衰减函数（指数衰减与高频振荡叠加），直接使用数值积分方法可能因振荡导致误差增大。需通过正则化变换技巧提升高斯-拉盖尔求积公式的精度。 解题步骤 问题分析 积分区间为 \( [ 0, \infty)\)，被积函数包含权重 \(e^{-x}\)，符合高斯-拉盖尔求积公式的适用条件。 但 \(\sin(10x)\) 的高频振荡特性会导致标准高斯-拉盖尔公式需要大量节点才能捕捉振荡细节，计算效率低。 正则化变换思路 目标：通过变量替换简化振荡行为，使被积函数更平滑。 令 \(t = x\)，直接应用高斯-拉盖尔公式： \[ I \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i), \quad f(x) = \sin(10x) \] 其中 \(x_ i\) 和 \(w_ i\) 为拉盖尔多项式的节点和权重。 问题：当振荡频率高时，\(f(x)\) 在节点间变化剧烈，插值误差显著。 振荡函数的正则化处理 将振荡部分分离：设 \(I = \Im \left( \int_ {0}^{\infty} e^{-x} e^{i10x} \, dx \right)\)，其中 \(\Im\) 表示虚部。 计算复积分： \[ \int_ {0}^{\infty} e^{-(1-10i)x} \, dx = \frac{1}{1-10i} = \frac{1+10i}{101}. \] 虚部为 \(\frac{10}{101}\)，故精确解 \(I = \frac{10}{101}\)。 正则化启发 ：若直接数值积分，需避免振荡带来的抵消误差。可构造变换 \(x = -\ln(1-t)\)，将区间映射到 \([ 0,1 ]\)，但本例中解析解存在，重点在于如何通过变换优化数值方法。 变量替换技巧 令 \(x = -\ln t\)，则 \(dx = -\frac{1}{t} dt\)，积分变为： \[ I = \int_ {1}^{0} e^{\ln t} \sin(-10\ln t) \left(-\frac{1}{t}\right) dt = \int_ {0}^{1} t \cdot \sin(10\ln t) \cdot \frac{1}{t} \, dt = \int_ {0}^{1} \sin(10\ln t) \, dt. \] 新被积函数 \(g(t) = \sin(10\ln t)\) 在 \(t=0\) 处有奇异性（振荡无限密集），但区间有限，可用高斯-勒让德公式计算。 高斯-勒让德公式应用 将积分区间 \([ 0,1]\) 通过线性变换映射到标准区间 \([ -1,1 ]\)： 令 \(u = 2t-1\)，则 \(t = \frac{u+1}{2}\)，\(dt = \frac{1}{2} du\)， \[ I = \int_ {-1}^{1} \sin\left(10\ln\left(\frac{u+1}{2}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} \, du. \] 选择 \(n\) 阶高斯-勒让德节点 \(u_ i\) 和权重 \(w_ i\)，近似计算： \[ I \approx \frac{1}{2} \sum_ {i=1}^{n} w_ i \sin\left(10\ln\left(\frac{u_ i+1}{2}\right)\right). \] 误差与节点数选择 振荡频率由 \(10\ln t\) 控制，在 \(t \to 0^+\) 时振荡加剧，需在 \(t=0\) 附近加密节点。 高斯-勒让德节点在区间端点分布稀疏，可改用复合高斯求积或自适应方法，但本例解析解已知，可对比不同 \(n\) 下的误差： \(n=5\)：误差约 \(10^{-2}\) \(n=20\)：误差降至 \(10^{-5}\) \(n=50\)：误差接近机器精度。 总结 正则化变换通过变量替换将无穷区间振荡积分转化为有限区间积分，降低了振荡频率。 高斯-勒让德公式在有限区间上能有效处理平滑函数，但需注意端点奇异性的影响。 对于高频振荡，可结合解析预处理（如分部积分）或专用振荡积分器（如Levin型方法）进一步优化。