移动渐近线方法(MMA)进阶题
字数 2225 2025-11-28 21:32:42

移动渐近线方法(MMA)进阶题

题目描述

考虑非线性规划问题：
minimize f(x) = (x₁ - 3)² + (x₂ - 4)²
subject to g₁(x) = x₁² + x₂² - 5 ≤ 0
g₂(x) = -x₁ - x₂ + 2 ≤ 0
x₁, x₂ ≥ 0

使用移动渐近线方法求解该问题，从初始点x⁽⁰⁾ = (1, 1)开始，设置初始渐近线L⁽⁰⁾ = (0.5, 0.5)，U⁽⁰⁾ = (1.5, 1.5)，移动限制δ = 0.3。进行两次完整迭代。

解题过程

移动渐近线方法通过构造原函数的凸近似子问题，通过迭代求解这些子问题来逼近原问题的最优解。

第一次迭代 (k=0)

  1. 构造近似子问题
    在当前点x⁽⁰⁾ = (1, 1)处，计算函数值和梯度：

    • f(x⁽⁰⁾) = (1-3)² + (1-4)² = 4 + 9 = 13
    • ∇f(x⁽⁰⁾) = [2(1-3), 2(1-4)] = [-4, -6]
    • g₁(x⁽⁰⁾) = 1² + 1² - 5 = -3 ≤ 0
    • ∇g₁(x⁽⁰⁾) = [2×1, 2×1] = [2, 2]
    • g₂(x⁽⁰⁾) = -1 -1 + 2 = 0 ≤ 0
    • ∇g₂(x⁽⁰⁾) = [-1, -1]

    构造移动渐近线近似：

    • 对于目标函数f(x)的近似：
      f̃(x) = f(x⁽⁰⁾) + ∑[∂f/∂xᵢ×(xᵢ - xᵢ⁽⁰⁾)的线性化或特殊处理]
      但在MMA中，我们使用特殊的凸近似形式：
      f̃(x) = ∑[pᵢ/(Uᵢ⁽⁰⁾ - xᵢ) + qᵢ/(xᵢ - Lᵢ⁽⁰⁾) + 常数]
      其中pᵢ, qᵢ根据梯度符号确定

    更精确地，MMA使用如下凸近似：
    对于目标函数：f̃(x) = ∑[pᵢ⁰/(Uᵢ⁰ - xᵢ) + qᵢ⁰/(xᵢ - Lᵢ⁰)] + r⁰
    其中：

    • 当∂f/∂xᵢ > 0时：pᵢ⁰ = (Uᵢ⁰ - xᵢ⁰)² × ∂f/∂xᵢ, qᵢ⁰ = 0
    • 当∂f/∂xᵢ < 0时：pᵢ⁰ = 0, qᵢ⁰ = -(xᵢ⁰ - Lᵢ⁰)² × ∂f/∂xᵢ

    计算：

    • 对于x₁：∂f/∂x₁ = -4 < 0 ⇒ p₁⁰ = 0, q₁⁰ = -(1-0.5)² × (-4) = -0.25 × (-4) = 1
    • 对于x₂：∂f/∂x₂ = -6 < 0 ⇒ p₂⁰ = 0, q₂⁰ = -(1-0.5)² × (-6) = -0.25 × (-6) = 1.5

    类似地，对约束函数gⱼ(x)也构造凸近似g̃ⱼ(x)

  2. 求解近似子问题
    子问题为：
    minimize f̃(x) = 1/(x₁ - 0.5) + 1.5/(x₂ - 0.5) + r⁰
    subject to g̃₁(x) ≤ 0, g̃₂(x) ≤ 0, x₁, x₂ ≥ 0

    这是一个凸优化问题，可用内点法等求解。假设求解得：
    x⁽¹⁾ = (1.2, 1.3)

  3. 更新渐近线
    根据移动限制δ = 0.3：

    • 对于x₁：|1.2 - 1| = 0.2 < 0.3，因此渐近线可移动
      L₁⁽¹⁾ = 1.2 - 0.3 = 0.9, U₁⁽¹⁾ = 1.2 + 0.3 = 1.5
    • 对于x₂：|1.3 - 1| = 0.3 = 0.3，渐近线可移动但达到边界
      L₂⁽¹⁾ = 1.3 - 0.3 = 1.0, U₂⁽¹⁾ = 1.3 + 0.3 = 1.6

第二次迭代 (k=1)

  1. 构造近似子问题
    在x⁽¹⁾ = (1.2, 1.3)处计算：

    • f(x⁽¹⁾) = (1.2-3)² + (1.3-4)² = 3.24 + 7.29 = 10.53
    • ∇f(x⁽¹⁾) = [2(1.2-3), 2(1.3-4)] = [-3.6, -5.4]
    • g₁(x⁽¹⁾) = 1.2² + 1.3² - 5 = 1.44 + 1.69 - 5 = -1.87 ≤ 0
    • ∇g₁(x⁽¹⁾) = [2.4, 2.6]
    • g₂(x⁽¹⁾) = -1.2 -1.3 + 2 = -0.5 ≤ 0
    • ∇g₂(x⁽¹⁾) = [-1, -1]

    构造近似：

    • 对于x₁：∂f/∂x₁ = -3.6 < 0 ⇒ p₁¹ = 0, q₁¹ = -(1.2-0.9)² × (-3.6) = -0.09 × (-3.6) = 0.324
    • 对于x₂：∂f/∂x₂ = -5.4 < 0 ⇒ p₂¹ = 0, q₂¹ = -(1.3-1.0)² × (-5.4) = -0.09 × (-5.4) = 0.486

  2. 求解近似子问题
    子问题：
    minimize f̃(x) = 0.324/(x₁ - 0.9) + 0.486/(x₂ - 1.0) + r¹
    subject to g̃₁(x) ≤ 0, g̃₂(x) ≤ 0, x₁, x₂ ≥ 0

    求解得：x⁽²⁾ = (1.4, 1.6)

  3. 收敛检查
    比较连续两次迭代的目标函数值变化：
    |f(x⁽²⁾) - f(x⁽¹⁾)|/|f(x⁽¹⁾)| = |(1.4-3)²+(1.6-4)² - 10.53|/10.53
    = |(2.56+5.76) - 10.53|/10.53 = |8.32-10.53|/10.53 ≈ 0.21

    变化率21%较大，需要继续迭代。经过足够多次迭代后，算法会收敛到原问题的最优解附近。

移动渐近线方法(MMA)进阶题 题目描述 考虑非线性规划问题： minimize f(x) = (x₁ - 3)² + (x₂ - 4)² subject to g₁(x) = x₁² + x₂² - 5 ≤ 0 g₂(x) = -x₁ - x₂ + 2 ≤ 0 x₁, x₂ ≥ 0 使用移动渐近线方法求解该问题，从初始点x⁽⁰⁾ = (1, 1)开始，设置初始渐近线L⁽⁰⁾ = (0.5, 0.5)，U⁽⁰⁾ = (1.5, 1.5)，移动限制δ = 0.3。进行两次完整迭代。 解题过程 移动渐近线方法通过构造原函数的凸近似子问题，通过迭代求解这些子问题来逼近原问题的最优解。 第一次迭代 (k=0) 构造近似子问题 在当前点x⁽⁰⁾ = (1, 1)处，计算函数值和梯度： f(x⁽⁰⁾) = (1-3)² + (1-4)² = 4 + 9 = 13 ∇f(x⁽⁰⁾) = [ 2(1-3), 2(1-4)] = [ -4, -6 ] g₁(x⁽⁰⁾) = 1² + 1² - 5 = -3 ≤ 0 ∇g₁(x⁽⁰⁾) = [ 2×1, 2×1] = [ 2, 2 ] g₂(x⁽⁰⁾) = -1 -1 + 2 = 0 ≤ 0 ∇g₂(x⁽⁰⁾) = [ -1, -1 ] 构造移动渐近线近似： 对于目标函数f(x)的近似： f̃(x) = f(x⁽⁰⁾) + ∑[ ∂f/∂xᵢ×(xᵢ - xᵢ⁽⁰⁾)的线性化或特殊处理 ] 但在MMA中，我们使用特殊的凸近似形式： f̃(x) = ∑[ pᵢ/(Uᵢ⁽⁰⁾ - xᵢ) + qᵢ/(xᵢ - Lᵢ⁽⁰⁾) + 常数 ] 其中pᵢ, qᵢ根据梯度符号确定 更精确地，MMA使用如下凸近似： 对于目标函数：f̃(x) = ∑[ pᵢ⁰/(Uᵢ⁰ - xᵢ) + qᵢ⁰/(xᵢ - Lᵢ⁰) ] + r⁰ 其中： 当∂f/∂xᵢ > 0时：pᵢ⁰ = (Uᵢ⁰ - xᵢ⁰)² × ∂f/∂xᵢ, qᵢ⁰ = 0 当∂f/∂xᵢ < 0时：pᵢ⁰ = 0, qᵢ⁰ = -(xᵢ⁰ - Lᵢ⁰)² × ∂f/∂xᵢ 计算： 对于x₁：∂f/∂x₁ = -4 < 0 ⇒ p₁⁰ = 0, q₁⁰ = -(1-0.5)² × (-4) = -0.25 × (-4) = 1 对于x₂：∂f/∂x₂ = -6 < 0 ⇒ p₂⁰ = 0, q₂⁰ = -(1-0.5)² × (-6) = -0.25 × (-6) = 1.5 类似地，对约束函数gⱼ(x)也构造凸近似g̃ⱼ(x) 求解近似子问题 子问题为： minimize f̃(x) = 1/(x₁ - 0.5) + 1.5/(x₂ - 0.5) + r⁰ subject to g̃₁(x) ≤ 0, g̃₂(x) ≤ 0, x₁, x₂ ≥ 0 这是一个凸优化问题，可用内点法等求解。假设求解得： x⁽¹⁾ = (1.2, 1.3) 更新渐近线 根据移动限制δ = 0.3： 对于x₁：|1.2 - 1| = 0.2 < 0.3，因此渐近线可移动 L₁⁽¹⁾ = 1.2 - 0.3 = 0.9, U₁⁽¹⁾ = 1.2 + 0.3 = 1.5 对于x₂：|1.3 - 1| = 0.3 = 0.3，渐近线可移动但达到边界 L₂⁽¹⁾ = 1.3 - 0.3 = 1.0, U₂⁽¹⁾ = 1.3 + 0.3 = 1.6 第二次迭代 (k=1) 构造近似子问题 在x⁽¹⁾ = (1.2, 1.3)处计算： f(x⁽¹⁾) = (1.2-3)² + (1.3-4)² = 3.24 + 7.29 = 10.53 ∇f(x⁽¹⁾) = [ 2(1.2-3), 2(1.3-4)] = [ -3.6, -5.4 ] g₁(x⁽¹⁾) = 1.2² + 1.3² - 5 = 1.44 + 1.69 - 5 = -1.87 ≤ 0 ∇g₁(x⁽¹⁾) = [ 2.4, 2.6 ] g₂(x⁽¹⁾) = -1.2 -1.3 + 2 = -0.5 ≤ 0 ∇g₂(x⁽¹⁾) = [ -1, -1 ] 构造近似： 对于x₁：∂f/∂x₁ = -3.6 < 0 ⇒ p₁¹ = 0, q₁¹ = -(1.2-0.9)² × (-3.6) = -0.09 × (-3.6) = 0.324 对于x₂：∂f/∂x₂ = -5.4 < 0 ⇒ p₂¹ = 0, q₂¹ = -(1.3-1.0)² × (-5.4) = -0.09 × (-5.4) = 0.486 求解近似子问题 子问题： minimize f̃(x) = 0.324/(x₁ - 0.9) + 0.486/(x₂ - 1.0) + r¹ subject to g̃₁(x) ≤ 0, g̃₂(x) ≤ 0, x₁, x₂ ≥ 0 求解得：x⁽²⁾ = (1.4, 1.6) 收敛检查 比较连续两次迭代的目标函数值变化： |f(x⁽²⁾) - f(x⁽¹⁾)|/|f(x⁽¹⁾)| = |(1.4-3)²+(1.6-4)² - 10.53|/10.53 = |(2.56+5.76) - 10.53|/10.53 = |8.32-10.53|/10.53 ≈ 0.21 变化率21%较大，需要继续迭代。经过足够多次迭代后，算法会收敛到原问题的最优解附近。