基于线性规划的图最小费用流问题的容量缩放算法求解示例 我将为您详细讲解如何利用容量缩放算法求解图的最小费用流问题。这是一个结合了最大流算法和费用优化的经典问题。 问题描述 假设我们有一个有向图G=(V,E)，其中： V是顶点集合，|V|=n E是边集合，|E|=m 每条边(i,j)∈E有容量uᵢⱼ≥0和单位流费用cᵢⱼ 每个顶点i∈V有净需求bᵢ（bᵢ>0表示供应，bᵢ <0表示需求，且∑bᵢ=0） 目标：找到满足所有顶点净需求的最小总费用流。 解题过程 步骤1：问题建模 首先将问题表述为线性规划： 最小化 ∑cᵢⱼfᵢⱼ（对所有边(i,j)） 满足： 流量守恒：对于每个顶点i，∑fᵢⱼ - ∑fⱼᵢ = bᵢ 容量约束：0 ≤ fᵢⱼ ≤ uᵢⱼ 步骤2：容量缩放算法思想 容量缩放算法通过逐步放宽流量限制来寻找最优解。核心思想是： 从较大的流量增量Δ开始 在残量网络中只考虑容量≥Δ的边 逐步减小Δ，直到Δ=1，找到精确解 步骤3：算法初始化 设置初始缩放参数Δ = 2^{⌊log₂U⌋}，其中U是最大边容量 初始化流量fᵢⱼ = 0（对所有边） 定义残量图G_ f，其中每条边有残量容量rᵢⱼ = uᵢⱼ - fᵢⱼ 步骤4：缩放阶段主循环 当Δ ≥ 1时，重复以下步骤： 子步骤4.1：构建Δ-残量图 创建图G_ f(Δ)，只包含残量容量rᵢⱼ ≥ Δ的边。 子步骤4.2：在Δ-残量图中寻找增广路径 对于每个有未满足需求的顶点（即净需求bᵢ ≠ 0）： 在G_ f(Δ)中寻找从供应点到需求点的最短路径（按费用） 沿路径推送流量，流量值为min(Δ, 路径最小残量容量, |未满足需求|) 子步骤4.3：更新流量和残量容量 更新路径上各边的流量：fᵢⱼ += 推送的流量 更新残量容量：rᵢⱼ = uᵢⱼ - fᵢⱼ 更新顶点的未满足需求 子步骤4.4：缩放参数更新 Δ = Δ/2（向下取整） 步骤5：最优性检验 当Δ < 1时，检查是否所有顶点需求得到满足，且总费用最小。 算法优势分析 时间复杂度：O((m log U)·S(n,m))，其中S(n,m)是最短路径算法复杂度 相比朴素算法，通过缩放避免了在容量较小的边上浪费时间 保证在多项式时间内找到最优解 实际应用示例 考虑一个简单运输网络：工厂（供应）→仓库（中转）→商店（需求） 工厂供应量：10单位 商店需求量：10单位 边有不同的运输成本和容量限制 通过容量缩放算法，可以高效找到成本最低的运输方案，避免在容量小的路径上过早分配流量。 这个算法特别适用于边容量差异大、需要高效分配资源的大规模网络流问题。