非线性规划中的Hooke-Jeeves模式搜索法进阶题

字数 1498 2025-11-28 19:46:05

非线性规划中的Hooke-Jeeves模式搜索法进阶题

题目描述
考虑非线性规划问题：
最小化 \(f(x) = (x_1 - 2)^4 + (x_1 - 2x_2)^2\)
初始点 \(x^{(0)} = [0.0, 3.0]\)，收敛阈值 \(\epsilon = 10^{-4}\)。
要求使用Hooke-Jeeves模式搜索法求解，并分析其收敛性。

解题过程

算法原理回顾
Hooke-Jeeves法由两类移动组成：
- 探测移动（Exploratory Move）：沿坐标轴方向试探步长，寻找下降点。
- 模式移动（Pattern Move）：沿当前点与上一基点的连线方向加速搜索。
  参数包括初始步长 \(\delta = 0.5\)（可调整）、步长缩减因子 \(\alpha = 0.5\)。
初始化
设基点 \(b^{(0)} = x^{(0)} = [0.0, 3.0]\)，当前点 \(p^{(0)} = b^{(0)}\)，步长 \(\delta = 0.5\)，\(k = 0\)。
迭代步骤（以第1轮迭代为例）
- 探测移动：
  从 \(p^{(0)} = [0.0, 3.0]\) 开始，沿各坐标轴试探：
  - \(x_1\) 方向：试探 \([0.0 + \delta, 3.0] = [0.5, 3.0]\)，计算 \(f = (0.5-2)^4 + (0.5-6)^2 ≈ 150.0625\)，比当前 \(f(0,3) = 620\) 小，接受。
    更新 \(p^{(1)} = [0.5, 3.0]\)。
  - \(x_2\) 方向：试探 \([0.5, 3.0 - \delta] = [0.5, 2.5]\)，\(f ≈ 96.0625\)，下降，接受。
    更新 \(p^{(1)} = [0.5, 2.5]\)。
    探测移动后 \(p^{(1)} = [0.5, 2.5]\)，\(f ≈ 96.0625\)。
- 判断是否更新基点：
  比较 \(f(p^{(1)})\) 与 \(f(b^{(0)})\)：
  \(f(b^{(0)}) = 620 > f(p^{(1)})\)，满足下降条件，设置新基点 \(b^{(1)} = p^{(1)}\)。
- 模式移动：
  方向 \(d = b^{(1)} - b^{(0)} = [0.5, -0.5]\)，新试探点 \(p_{\text{temp}} = b^{(1)} + d = [1.0, 2.0]\)。
  计算 \(f(1.0, 2.0) = (1-2)^4 + (1-4)^2 = 1 + 9 = 10\)，优于 \(f(b^{(1)})\)。
  从 \(p_{\text{temp}}\) 开始新一轮探测移动（详细步骤略）。
收敛判断
当步长 \(\delta < \epsilon\) 时停止。若探测移动无法找到更优点，则缩减步长 \(\delta \leftarrow \alpha \delta\)。
本题中，函数为凸且光滑，Hooke-Jeeves法能收敛到全局最优解 \(x^* ≈ [2.0, 1.0]\)，\(f(x^*) = 0\)。
关键点说明
- 探测移动保证局部下降，模式移动利用历史信息加速。
- 步长管理避免震荡：若模式移动失败，退回基点并缩减步长。
- 对于非光滑问题，需调整步长策略以避免卡在非最优拐点。

非线性规划中的Hooke-Jeeves模式搜索法进阶题题目描述考虑非线性规划问题：最小化 \( f(x) = (x_ 1 - 2)^4 + (x_ 1 - 2x_ 2)^2 \) 初始点 \( x^{(0)} = [ 0.0, 3.0 ] \)，收敛阈值 \( \epsilon = 10^{-4} \)。要求使用Hooke-Jeeves模式搜索法求解，并分析其收敛性。解题过程算法原理回顾 Hooke-Jeeves法由两类移动组成：探测移动（Exploratory Move）：沿坐标轴方向试探步长，寻找下降点。模式移动（Pattern Move）：沿当前点与上一基点的连线方向加速搜索。参数包括初始步长 \( \delta = 0.5 \)（可调整）、步长缩减因子 \( \alpha = 0.5 \)。初始化设基点 \( b^{(0)} = x^{(0)} = [ 0.0, 3.0 ] \)，当前点 \( p^{(0)} = b^{(0)} \)，步长 \( \delta = 0.5 \)，\( k = 0 \)。迭代步骤（以第1轮迭代为例）探测移动：从 \( p^{(0)} = [ 0.0, 3.0 ] \) 开始，沿各坐标轴试探： \( x_ 1 \) 方向：试探 \( [ 0.0 + \delta, 3.0] = [ 0.5, 3.0 ] \)，计算 \( f = (0.5-2)^4 + (0.5-6)^2 ≈ 150.0625 \)，比当前 \( f(0,3) = 620 \) 小，接受。更新 \( p^{(1)} = [ 0.5, 3.0 ] \)。 \( x_ 2 \) 方向：试探 \( [ 0.5, 3.0 - \delta] = [ 0.5, 2.5 ] \)，\( f ≈ 96.0625 \)，下降，接受。更新 \( p^{(1)} = [ 0.5, 2.5 ] \)。探测移动后 \( p^{(1)} = [ 0.5, 2.5 ] \)，\( f ≈ 96.0625 \)。判断是否更新基点：比较 \( f(p^{(1)}) \) 与 \( f(b^{(0)}) \)： \( f(b^{(0)}) = 620 > f(p^{(1)}) \)，满足下降条件，设置新基点 \( b^{(1)} = p^{(1)} \)。模式移动：方向 \( d = b^{(1)} - b^{(0)} = [ 0.5, -0.5] \)，新试探点 \( p_ {\text{temp}} = b^{(1)} + d = [ 1.0, 2.0 ] \)。计算 \( f(1.0, 2.0) = (1-2)^4 + (1-4)^2 = 1 + 9 = 10 \)，优于 \( f(b^{(1)}) \)。从 \( p_ {\text{temp}} \) 开始新一轮探测移动（详细步骤略）。收敛判断当步长 \( \delta < \epsilon \) 时停止。若探测移动无法找到更优点，则缩减步长 \( \delta \leftarrow \alpha \delta \)。本题中，函数为凸且光滑，Hooke-Jeeves法能收敛到全局最优解 \( x^* ≈ [ 2.0, 1.0] \)，\( f(x^* ) = 0 \)。关键点说明探测移动保证局部下降，模式移动利用历史信息加速。步长管理避免震荡：若模式移动失败，退回基点并缩减步长。对于非光滑问题，需调整步长策略以避免卡在非最优拐点。