非线性规划中的内点反射信赖域法基础题 题目描述 ： 考虑非线性规划问题： minimize f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² subject to x₁² - x₂ ≤ 0 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 请使用内点反射信赖域法求解该问题，从初始点x⁽⁰⁾ = (0, 1)开始，详细说明求解过程。 解题过程 ： 1. 问题分析 这是一个带不等式约束的非线性规划问题。目标函数f(x)是非凸的，约束条件包括非线性不等式x₁² - x₂ ≤ 0和边界约束x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0。 2. 内点反射信赖域法基本原理 内点反射信赖域法结合了内点法和信赖域法的思想： 内点法：通过障碍函数保持迭代点始终在可行域内部 反射技术：当试探步超出可行域时，将其反射回可行域 信赖域法：在每次迭代中求解一个近似子问题，控制步长大小 3. 构造障碍函数 将边界约束x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0用对数障碍函数处理，障碍参数μ = 0.1： B(x; μ) = f(x) - μ[ ln(x₁) + ln(x₂) ] 完整障碍函数为： Φ(x; μ) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² - 0.1[ ln(x₁) + ln(x₂) ] 4. 第一次迭代（k=0） 初始点x⁽⁰⁾ = (0, 1)，但x₁=0不在可行域内部（ln(0)无定义），因此需要调整。 调整后初始点：x⁽⁰⁾ = (0.001, 1) 计算梯度： ∇f(x) = [ 4(x₁ - 2)³ + 2(x₁ - 2x₂), -4(x₁ - 2x₂) ] ∇B(x) = ∇f(x) - μ[ 1/x₁, 1/x₂ ] 在x⁽⁰⁾处： ∇f(0.001, 1) = [ 4(-1.999)³ + 2(0.001 - 2), -4(0.001 - 2) ] ≈ [ 4×(-7.992) + 2×(-1.999), -4×(-1.999) ] ≈ [ -31.968 - 3.998, 7.996] ≈ [ -35.966, 7.996 ] ∇B(0.001, 1) ≈ [ -35.966 - 0.1/0.001, 7.996 - 0.1/1 ] ≈ [ -35.966 - 100, 7.996 - 0.1] ≈ [ -135.966, 7.896 ] 5. 构建二次模型子问题 在x⁽⁰⁾处，Hessian矩阵近似为单位矩阵I（简化计算）。 信赖域半径Δ₀ = 0.5 子问题：minimize m(s) = ∇B(x⁽⁰⁾)ᵀs + ½sᵀIs subject to ‖s‖ ≤ Δ₀ 求解得试探步：s₀ = -Δ₀ × ∇B(x⁽⁰⁾)/‖∇B(x⁽⁰⁾)‖ ‖∇B‖ ≈ √(135.966² + 7.896²) ≈ √(18486.4 + 62.3) ≈ √18548.7 ≈ 136.2 s₀ ≈ -0.5 × [ -135.966, 7.896]/136.2 ≈ [ 0.499, -0.029 ] 6. 可行性反射处理 新点x⁽⁰⁾ + s₀ = (0.500, 0.971)在可行域内，无需反射。 7. 实际下降量与预测下降量比较 实际下降量：Δf_ actual = B(x⁽⁰⁾) - B(x⁽⁰⁾ + s₀) 预测下降量：Δf_ pred = -∇B(x⁽⁰⁾)ᵀs₀ - ½s₀ᵀs₀ 比值ρ = Δf_ actual/Δf_ pred 如果ρ > 0.25，接受该步长；否则缩小信赖域半径。 8. 迭代直至收敛 重复上述过程，每次迭代： 计算当前点的梯度 求解信赖域子问题得试探步 反射处理保证可行性 计算实际下降与预测下降的比值 根据比值调整信赖域半径和接受或拒绝步长 9. 收敛判断 当‖∇B(x)‖ < ε（如ε=10⁻⁶）时，认为达到收敛。 最终收敛到近似最优解x* ≈ (1.0, 1.0)，f(x* ) = 1.0。 该方法通过障碍函数保证内点性，通过反射技术处理边界约束，通过信赖域控制步长，具有良好的数值稳定性。