高斯-埃尔米特求积公式在量子力学谐振子波函数归一化验证中的应用

字数 2983 2025-11-28 11:53:20

高斯-埃尔米特求积公式在量子力学谐振子波函数归一化验证中的应用

题目描述
在量子力学中，一维谐振子的第 \(n\) 阶激发态波函数为：

\[\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}} H_n(x) e^{-x^2/2}, \]

其中 \(H_n(x)\) 是 \(n\) 阶埃尔米特多项式。波函数需满足归一化条件：

\[\int_{-\infty}^{\infty} |\psi_n(x)|^2 \, dx = 1. \]

问题：使用高斯-埃尔米特求积公式验证 \(n=2\) 时的归一化条件（即计算积分 \(I = \int_{-\infty}^{\infty} [\psi_2(x)]^2 dx\) 是否等于 1），并分析节点数对精度的影响。

解题过程

1. 写出具体积分表达式
对于 \(n=2\)，埃尔米特多项式为 \(H_2(x) = 4x^2 - 2\)。代入波函数公式：

\[\psi_2(x) = \frac{1}{\sqrt{8\sqrt{\pi}}} (4x^2 - 2) e^{-x^2/2}. \]

归一化积分变为：

\[I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{8\sqrt{\pi}} (4x^2 - 2)^2 e^{-x^2} \, dx. \]

展开平方项 \((4x^2 - 2)^2 = 16x^4 - 16x^2 + 4\)，积分简化为：

\[I = \frac{1}{8\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} (16x^4 - 16x^2 + 4) e^{-x^2} \, dx. \]

2. 高斯-埃尔米特求积公式简介
该公式适用于积分 \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-x^2} dx\)，其形式为：

\[\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-x^2} dx \approx \sum_{i=1}^m w_i f(x_i), \]

其中 \(x_i\) 是 \(m\) 阶埃尔米特多项式的根（节点），\(w_i\) 是对应权重。公式对 \(2m-1\) 次以下多项式精确成立。

3. 选择节点数并计算权重

节点数 \(m=3\)：埃尔米特多项式 \(H_3(x) = 8x^3 - 12x\) 的根为 \(x_0 = 0, x_{1,2} = \pm \sqrt{3/2}\)。
权重公式为 \(w_i = \frac{2^{m-1} m! \sqrt{\pi}}{m^2 [H_{m-1}(x_i)]^2}\)，计算得：

\[ w_0 = \frac{4\sqrt{\pi}}{3}, \quad w_{1,2} = \frac{2\sqrt{\pi}}{3}. \]

节点数 \(m=4\)：使用 \(H_4(x) = 16x^4 - 48x^2 + 12\) 的根 \(x_i = \pm \sqrt{(3 \pm \sqrt{6})/2}\) 及对应权重（具体值需查表或计算）。

4. 应用求积公式
令被积函数中多项式部分为 \(f(x) = 16x^4 - 16x^2 + 4\)。

当 \(m=3\)：

\[ I \approx \frac{1}{8\sqrt{\pi}} \left[ w_0 f(0) + w_1 f(\sqrt{3/2}) + w_2 f(-\sqrt{3/2}) \right]. \]

计算 \(f(0) = 4\)，\(f(\pm \sqrt{3/2}) = 16 \cdot \frac{9}{4} - 16 \cdot \frac{3}{2} + 4 = 16\)。
代入得：

\[ I \approx \frac{1}{8\sqrt{\pi}} \left( \frac{4\sqrt{\pi}}{3} \cdot 4 + 2 \cdot \frac{2\sqrt{\pi}}{3} \cdot 16 \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{16}{3} + \frac{64}{3} \right) = \frac{1}{8} \cdot \frac{80}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.333 \neq 1. \]

结果错误，因为 \(f(x)\) 是 4 次多项式，而 \(m=3\) 的公式仅对 5 次以下多项式精确，但这里权重计算需注意：实际应直接对 \(f(x)\) 应用公式，但 \(e^{-x^2}\) 已包含在权重中。

修正：直接利用公式的精确性：
由于 \(f(x)\) 为 4 次多项式，若选 \(m=3\)（对应精度 5 次），应精确成立。但需验证权重归一化：
高斯-埃尔米特公式满足 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} = \sum w_i\)。
计算 \(\sum w_i = \frac{4\sqrt{\pi}}{3} + 2 \cdot \frac{2\sqrt{\pi}}{3} = \frac{8\sqrt{\pi}}{3} \neq \sqrt{\pi}\)，说明权重计算有误。

正确权重（标准表值）：
\(m=3\) 时，节点 \(x_0=0, x_{1,2}=\pm 1.22474487\)，权重 \(w_0=1.1816359, w_{1,2}=0.29540897\)。
验证：\(\sum w_i \approx 1.1816 + 2 \times 0.2954 = 1.7724 \approx \sqrt{\pi}\)。
重新计算：

\[I \approx \frac{1}{8\sqrt{\pi}} \left[ 1.1816 \cdot f(0) + 0.2954 \cdot f(1.2247) + 0.2954 \cdot f(-1.2247) \right] = \frac{1}{8\sqrt{\pi}} \left[ 1.1816 \cdot 4 + 0.5908 \cdot 16 \right] = \frac{1}{8\sqrt{\pi}} \cdot 13.7456 \approx 1.000. \]

结果精确为 1，因为 \(m=3\) 对 5 次多项式精确。

5. 节点数影响分析

\(m=2\)：精度为 3 次，但 \(f(x)\) 为 4 次，结果不精确。
\(m=3\)：精度为 5 次，可精确积分。
更高节点数（如 \(m=4\)）结果相同，但计算量增加。

结论：高斯-埃尔米特求积公式通过匹配权函数 \(e^{-x^2}\) 和多项式次数，能高效验证量子谐振子波函数的归一化性质。

高斯-埃尔米特求积公式在量子力学谐振子波函数归一化验证中的应用题目描述在量子力学中，一维谐振子的第 \( n \) 阶激发态波函数为： \[ \psi_ n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}} H_ n(x) e^{-x^2/2}, \] 其中 \( H_ n(x) \) 是 \( n \) 阶埃尔米特多项式。波函数需满足归一化条件： \[ \int_ {-\infty}^{\infty} |\psi_ n(x)|^2 \, dx = 1. \] 问题：使用高斯-埃尔米特求积公式验证 \( n=2 \) 时的归一化条件（即计算积分 \( I = \int_ {-\infty}^{\infty} [ \psi_ 2(x) ]^2 dx \) 是否等于 1），并分析节点数对精度的影响。解题过程 1. 写出具体积分表达式对于 \( n=2 \)，埃尔米特多项式为 \( H_ 2(x) = 4x^2 - 2 \)。代入波函数公式： \[ \psi_ 2(x) = \frac{1}{\sqrt{8\sqrt{\pi}}} (4x^2 - 2) e^{-x^2/2}. \] 归一化积分变为： \[ I = \int_ {-\infty}^{\infty} \frac{1}{8\sqrt{\pi}} (4x^2 - 2)^2 e^{-x^2} \, dx. \] 展开平方项 \( (4x^2 - 2)^2 = 16x^4 - 16x^2 + 4 \)，积分简化为： \[ I = \frac{1}{8\sqrt{\pi}} \int_ {-\infty}^{\infty} (16x^4 - 16x^2 + 4) e^{-x^2} \, dx. \] 2. 高斯-埃尔米特求积公式简介该公式适用于积分 \( \int_ {-\infty}^{\infty} f(x) e^{-x^2} dx \)，其形式为： \[ \int_ {-\infty}^{\infty} f(x) e^{-x^2} dx \approx \sum_ {i=1}^m w_ i f(x_ i), \] 其中 \( x_ i \) 是 \( m \) 阶埃尔米特多项式的根（节点），\( w_ i \) 是对应权重。公式对 \( 2m-1 \) 次以下多项式精确成立。 3. 选择节点数并计算权重节点数 \( m=3 \) ：埃尔米特多项式 \( H_ 3(x) = 8x^3 - 12x \) 的根为 \( x_ 0 = 0, x_ {1,2} = \pm \sqrt{3/2} \)。权重公式为 \( w_ i = \frac{2^{m-1} m! \sqrt{\pi}}{m^2 [ H_ {m-1}(x_ i) ]^2} \)，计算得： \[ w_ 0 = \frac{4\sqrt{\pi}}{3}, \quad w_ {1,2} = \frac{2\sqrt{\pi}}{3}. \] 节点数 \( m=4 \) ：使用 \( H_ 4(x) = 16x^4 - 48x^2 + 12 \) 的根 \( x_ i = \pm \sqrt{(3 \pm \sqrt{6})/2} \) 及对应权重（具体值需查表或计算）。 4. 应用求积公式令被积函数中多项式部分为 \( f(x) = 16x^4 - 16x^2 + 4 \)。当 \( m=3 \) ： \[ I \approx \frac{1}{8\sqrt{\pi}} \left[ w_ 0 f(0) + w_ 1 f(\sqrt{3/2}) + w_ 2 f(-\sqrt{3/2}) \right ]. \] 计算 \( f(0) = 4 \)，\( f(\pm \sqrt{3/2}) = 16 \cdot \frac{9}{4} - 16 \cdot \frac{3}{2} + 4 = 16 \)。代入得： \[ I \approx \frac{1}{8\sqrt{\pi}} \left( \frac{4\sqrt{\pi}}{3} \cdot 4 + 2 \cdot \frac{2\sqrt{\pi}}{3} \cdot 16 \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{16}{3} + \frac{64}{3} \right) = \frac{1}{8} \cdot \frac{80}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.333 \neq 1. \] 结果错误，因为 \( f(x) \) 是 4 次多项式，而 \( m=3 \) 的公式仅对 5 次以下多项式精确，但这里权重计算需注意：实际应直接对 \( f(x) \) 应用公式，但 \( e^{-x^2} \) 已包含在权重中。修正：直接利用公式的精确性：由于 \( f(x) \) 为 4 次多项式，若选 \( m=3 \)（对应精度 5 次），应精确成立。但需验证权重归一化：高斯-埃尔米特公式满足 \( \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} = \sum w_ i \)。计算 \( \sum w_ i = \frac{4\sqrt{\pi}}{3} + 2 \cdot \frac{2\sqrt{\pi}}{3} = \frac{8\sqrt{\pi}}{3} \neq \sqrt{\pi} \)，说明权重计算有误。正确权重（标准表值）： \( m=3 \) 时，节点 \( x_ 0=0, x_ {1,2}=\pm 1.22474487 \)，权重 \( w_ 0=1.1816359, w_ {1,2}=0.29540897 \)。验证：\( \sum w_ i \approx 1.1816 + 2 \times 0.2954 = 1.7724 \approx \sqrt{\pi} \)。重新计算： \[ I \approx \frac{1}{8\sqrt{\pi}} \left[ 1.1816 \cdot f(0) + 0.2954 \cdot f(1.2247) + 0.2954 \cdot f(-1.2247) \right] = \frac{1}{8\sqrt{\pi}} \left[ 1.1816 \cdot 4 + 0.5908 \cdot 16 \right ] = \frac{1}{8\sqrt{\pi}} \cdot 13.7456 \approx 1.000. \] 结果精确为 1，因为 \( m=3 \) 对 5 次多项式精确。 5. 节点数影响分析 \( m=2 \)：精度为 3 次，但 \( f(x) \) 为 4 次，结果不精确。 \( m=3 \)：精度为 5 次，可精确积分。更高节点数（如 \( m=4 \)）结果相同，但计算量增加。结论：高斯-埃尔米特求积公式通过匹配权函数 \( e^{-x^2} \) 和多项式次数，能高效验证量子谐振子波函数的归一化性质。