龙贝格积分法在带奇异点函数积分中的权函数匹配技巧 题目描述 计算定积分 \[ I = \int_ {0}^{1} \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} \, dx \] 该积分在 \(x=0\) 处存在奇异性（被积函数趋于无穷大），直接使用龙贝格积分法（基于等距节点的外推法）会因奇点导致收敛缓慢甚至失败。需结合权函数匹配技巧，将奇异部分分离并用已知解析形式处理，剩余部分用龙贝格积分法高效计算。 解题过程 步骤1: 分析奇异性并匹配权函数 被积函数 \(f(x) = \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}\) 在 \(x=0\) 处的奇异性主要来源于权函数 \(w(x) = x^{-1/2}\)（在 \([ 0,1 ]\) 上可积，但数值计算困难）。匹配权函数的目标是将积分重写为： \[ I = \int_ {0}^{1} w(x) \cdot g(x) \, dx \] 其中 \(w(x)\) 的积分已知或易处理，\(g(x)\) 需尽量光滑。此处选择 \(w(x) = x^{-1/2}\)，则 \(g(x) = \ln(x)\)。但 \(g(x)\) 在 \(x=0\) 仍发散，需进一步处理。 步骤2: 变量替换消除奇异性 令 \(t = \sqrt{x}\)，则 \(x = t^2\)，\(dx = 2t \, dt\)，积分变为： \[ I = \int_ {0}^{1} \frac{\ln(t^2)}{\sqrt{t^2}} \cdot 2t \, dt = \int_ {0}^{1} \frac{2 \ln(t^2)}{t} \cdot t \, dt = 4 \int_ {0}^{1} \ln(t) \, dt \] 简化后得： \[ I = 4 \int_ {0}^{1} \ln(t) \, dt \] 此时被积函数 \(\ln(t)\) 在 \(t=0\) 仍发散，但积分收敛（\(\int_ {0}^{1} \ln(t) \, dt = -1\)）。然而直接数值计算仍不稳定，需再次匹配权函数。 步骤3: 权函数匹配与解析积分结合 将积分拆分为奇异部分和正则部分： \[ I = 4 \left[ \int_ {0}^{\varepsilon} \ln(t) \, dt + \int_ {\varepsilon}^{1} \ln(t) \, dt \right ] \] 其中 \(\varepsilon\) 为小正数（如 \(10^{-6}\)）。第一项用解析计算： \[ \int_ {0}^{\varepsilon} \ln(t) \, dt = \left[ t \ln(t) - t \right] {0}^{\varepsilon} = \varepsilon \ln(\varepsilon) - \varepsilon \] 第二项用龙贝格积分法计算 \(\int {\varepsilon}^{1} \ln(t) \, dt\)。由于 \(\ln(t)\) 在 \([ \varepsilon, 1 ]\) 上光滑，龙贝格法能快速收敛。 步骤4: 龙贝格积分法实现 龙贝格法通过复合梯形公式外推加速收敛： 初始化 ：计算 \(R_ {1,1} = \frac{f(a) + f(b)}{2} \cdot (b-a)\)，其中 \(a = \varepsilon\)，\(b = 1\)，\(f(t) = \ln(t)\)。 递归细分 ：对 \(k = 2, 3, \dots\)，计算复合梯形公式 \(R_ {k,1}\) 并利用外推公式： \[ R_ {k,j} = \frac{4^{j-1} R_ {k,j-1} - R_ {k-1,j-1}}{4^{j-1} - 1} \] 终止条件 ：当 \(|R_ {k,k} - R_ {k-1,k-1}| < \text{tol}\) 时停止。 步骤5: 综合结果 最终积分值为： \[ I = 4 \left[ (\varepsilon \ln(\varepsilon) - \varepsilon) + R_ {k,k} \right ] \] 其中 \(R_ {k,k}\) 为龙贝格法对 \(\int_ {\varepsilon}^{1} \ln(t) \, dt\) 的近似值。 关键点总结 通过变量替换 \(t = \sqrt{x}\) 简化权函数形式。 结合解析计算处理奇异区间 \([ \varepsilon, 1 ]\)，龙贝格法处理正则区间。 龙贝格法的外推机制确保在光滑区间上高效收敛。 此方法显著提升了带奇异点积分的计算效率与精度。