高斯-埃尔米特求积公式在量子力学谐振子波函数正交性验证中的应用

字数 2628 2025-11-28 09:59:54

高斯-埃尔米特求积公式在量子力学谐振子波函数正交性验证中的应用

题目描述
在量子力学中，一维谐振子的波函数由埃尔米特多项式与高斯函数的乘积构成。例如，第 \(n\) 能级的归一化波函数为：

\[\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}} H_n(x) e^{-x^2/2}, \]

其中 \(H_n(x)\) 是 \(n\) 阶埃尔米特多项式。波函数的正交性要求满足：

\[\int_{-\infty}^{\infty} \psi_m(x) \psi_n(x) \, dx = \delta_{mn}, \]

这里 \(\delta_{mn}\) 是克罗内克函数。问题：如何利用高斯-埃尔米特求积公式高效且精确地验证这一正交性？

解题过程

1. 分析积分形式
将正交性积分展开：

\[\int_{-\infty}^{\infty} \psi_m(x) \psi_n(x) \, dx = \frac{1}{\sqrt{\pi 2^{m+n} m! n!}} \int_{-\infty}^{\infty} H_m(x) H_n(x) e^{-x^2} \, dx. \]

积分核为 \(H_m(x) H_n(x) e^{-x^2}\)，其中权重函数 \(e^{-x^2}\) 与高斯-埃尔米特求积公式的权函数一致。该公式适用于计算形如 \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-x^2} \, dx\) 的积分。

2. 高斯-埃尔米特求积公式简介
对于积分 \(I = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-x^2} \, dx\)，高斯-埃尔米特求积公式的 \(N\) 点近似为：

\[I \approx \sum_{i=1}^N w_i f(x_i), \]

其中 \(x_i\) 是 \(N\) 阶埃尔米特多项式 \(H_N(x)\) 的根（求积节点），\(w_i\) 是对应的权重：

\[w_i = \frac{2^{N-1} N! \sqrt{\pi}}{N^2 [H_{N-1}(x_i)]^2}. \]

该公式对次数不超过 \(2N-1\) 的多项式精确成立。

3. 应用求积公式到正交性验证
令被积函数 \(f(x) = H_m(x) H_n(x)\)。由于 \(H_m(x) H_n(x)\) 是次数为 \(m+n\) 的多项式，若选择 \(N\) 满足 \(2N-1 \geq m+n\)（即 \(N \geq \frac{m+n+1}{2}\)），则求积公式可精确计算积分：

\[\int_{-\infty}^{\infty} H_m(x) H_n(x) e^{-x^2} \, dx = \sum_{i=1}^N w_i H_m(x_i) H_n(x_i). \]

代入波函数表达式后，正交性验证转化为计算：

\[\delta_{mn} \approx \frac{1}{\sqrt{\pi 2^{m+n} m! n!}} \sum_{i=1}^N w_i H_m(x_i) H_n(x_i). \]

4. 具体计算步骤
以验证 \(m=1, n=2\) 的非正交性（应得0）和 \(m=n=2\) 的归一性（应得1）为例：

步骤1：确定所需节点数 \(N\)。对 \(m+n=3\)，需 \(N \geq 2\)，选择 \(N=2\) 即可精确计算。
步骤2：查表或计算 \(N=2\) 时的节点和权重：
- 节点：\(x_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}}, x_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\)（\(H_2(x) = 4x^2 - 2\) 的根）。
- 权重：\(w_1 = w_2 = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\)（通过公式计算或查表）。
步骤3：计算函数值：
- 对 \(m=1, n=2\)：\(H_1(x) = 2x\)，\(H_2(x) = 4x^2 - 2\)。
- 在节点处求乘积：
  - \(x_1: H_1(x_1) H_2(x_1) = 2(-\frac{1}{\sqrt{2}}) \cdot (4(\frac{1}{2}) - 2) = -\sqrt{2} \cdot 0 = 0\)，
  - \(x_2:\) 同理得 0。
- 求和：\(\sum w_i f(x_i) = 0\) → 积分结果为0，符合正交性。
步骤4：验证 \(m=n=2\)：
- \(f(x) = [H_2(x)]^2 = (4x^2 - 2)^2\)。
- 节点处值：
  - \(x_1: (4 \cdot \frac{1}{2} - 2)^2 = 0^2 = 0\)，
  - \(x_2:\) 同理为 0。
- 但 \([H_2(x)]^2\) 是4次多项式，而 \(N=2\) 时公式仅对3次以下多项式精确。需增加节点数至 \(N \geq 3\)（因 \(2N-1 \geq 4\) → \(N \geq 2.5\)，取 \(N=3\)）。
- 使用 \(N=3\) 的节点和权重重新计算，可得精确结果 \(\int H_2^2 e^{-x^2} dx = 8\sqrt{\pi}\)，代入波函数系数后归一性成立。

5. 误差与优化

当 \(m+n \leq 2N-1\) 时，计算精确；否则存在截断误差。实践中可选择 \(N > \frac{m+n+1}{2}\) 以保证精度。
对于高能级（大 \(m, n\)），需更多节点，但高斯求积法仍比直接数值积分（如梯形法）高效，因指数衰减权函数被自然处理。

总结
高斯-埃尔米特求积公式通过匹配权函数 \(e^{-x^2}\)，将波函数正交性验证转化为多项式在节点处的求值，利用正交多项式的性质实现高效精确计算。该方法避免了人工截断无穷积分域，并适用于量子系统中类似的高振荡或衰减函数积分。

高斯-埃尔米特求积公式在量子力学谐振子波函数正交性验证中的应用题目描述在量子力学中，一维谐振子的波函数由埃尔米特多项式与高斯函数的乘积构成。例如，第 \( n \) 能级的归一化波函数为： \[ \psi_ n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}} H_ n(x) e^{-x^2/2}, \] 其中 \( H_ n(x) \) 是 \( n \) 阶埃尔米特多项式。波函数的正交性要求满足： \[ \int_ {-\infty}^{\infty} \psi_ m(x) \psi_ n(x) \, dx = \delta_ {mn}, \] 这里 \( \delta_ {mn} \) 是克罗内克函数。问题：如何利用高斯-埃尔米特求积公式高效且精确地验证这一正交性？解题过程 1. 分析积分形式将正交性积分展开： \[ \int_ {-\infty}^{\infty} \psi_ m(x) \psi_ n(x) \, dx = \frac{1}{\sqrt{\pi 2^{m+n} m! n!}} \int_ {-\infty}^{\infty} H_ m(x) H_ n(x) e^{-x^2} \, dx. \] 积分核为 \( H_ m(x) H_ n(x) e^{-x^2} \)，其中权重函数 \( e^{-x^2} \) 与高斯-埃尔米特求积公式的权函数一致。该公式适用于计算形如 \( \int_ {-\infty}^{\infty} f(x) e^{-x^2} \, dx \) 的积分。 2. 高斯-埃尔米特求积公式简介对于积分 \( I = \int_ {-\infty}^{\infty} f(x) e^{-x^2} \, dx \)，高斯-埃尔米特求积公式的 \( N \) 点近似为： \[ I \approx \sum_ {i=1}^N w_ i f(x_ i), \] 其中 \( x_ i \) 是 \( N \) 阶埃尔米特多项式 \( H_ N(x) \) 的根（求积节点），\( w_ i \) 是对应的权重： \[ w_ i = \frac{2^{N-1} N! \sqrt{\pi}}{N^2 [ H_ {N-1}(x_ i) ]^2}. \] 该公式对次数不超过 \( 2N-1 \) 的多项式精确成立。 3. 应用求积公式到正交性验证令被积函数 \( f(x) = H_ m(x) H_ n(x) \)。由于 \( H_ m(x) H_ n(x) \) 是次数为 \( m+n \) 的多项式，若选择 \( N \) 满足 \( 2N-1 \geq m+n \)（即 \( N \geq \frac{m+n+1}{2} \)），则求积公式可精确计算积分： \[ \int_ {-\infty}^{\infty} H_ m(x) H_ n(x) e^{-x^2} \, dx = \sum_ {i=1}^N w_ i H_ m(x_ i) H_ n(x_ i). \] 代入波函数表达式后，正交性验证转化为计算： \[ \delta_ {mn} \approx \frac{1}{\sqrt{\pi 2^{m+n} m! n!}} \sum_ {i=1}^N w_ i H_ m(x_ i) H_ n(x_ i). \] 4. 具体计算步骤以验证 \( m=1, n=2 \) 的非正交性（应得0）和 \( m=n=2 \) 的归一性（应得1）为例：步骤1 ：确定所需节点数 \( N \)。对 \( m+n=3 \)，需 \( N \geq 2 \)，选择 \( N=2 \) 即可精确计算。步骤2 ：查表或计算 \( N=2 \) 时的节点和权重：节点：\( x_ 1 = -\frac{1}{\sqrt{2}}, x_ 2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \)（\( H_ 2(x) = 4x^2 - 2 \) 的根）。权重：\( w_ 1 = w_ 2 = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \)（通过公式计算或查表）。步骤3 ：计算函数值：对 \( m=1, n=2 \)：\( H_ 1(x) = 2x \)，\( H_ 2(x) = 4x^2 - 2 \)。在节点处求乘积： \( x_ 1: H_ 1(x_ 1) H_ 2(x_ 1) = 2(-\frac{1}{\sqrt{2}}) \cdot (4(\frac{1}{2}) - 2) = -\sqrt{2} \cdot 0 = 0 \)， \( x_ 2: \) 同理得 0。求和：\( \sum w_ i f(x_ i) = 0 \) → 积分结果为0，符合正交性。步骤4 ：验证 \( m=n=2 \)： \( f(x) = [ H_ 2(x) ]^2 = (4x^2 - 2)^2 \)。节点处值： \( x_ 1: (4 \cdot \frac{1}{2} - 2)^2 = 0^2 = 0 \)， \( x_ 2: \) 同理为 0。但 \( [ H_ 2(x) ]^2 \) 是4次多项式，而 \( N=2 \) 时公式仅对3次以下多项式精确。需增加节点数至 \( N \geq 3 \)（因 \( 2N-1 \geq 4 \) → \( N \geq 2.5 \)，取 \( N=3 \)）。使用 \( N=3 \) 的节点和权重重新计算，可得精确结果 \( \int H_ 2^2 e^{-x^2} dx = 8\sqrt{\pi} \)，代入波函数系数后归一性成立。 5. 误差与优化当 \( m+n \leq 2N-1 \) 时，计算精确；否则存在截断误差。实践中可选择 \( N > \frac{m+n+1}{2} \) 以保证精度。对于高能级（大 \( m, n \)），需更多节点，但高斯求积法仍比直接数值积分（如梯形法）高效，因指数衰减权函数被自然处理。总结高斯-埃尔米特求积公式通过匹配权函数 \( e^{-x^2} \)，将波函数正交性验证转化为多项式在节点处的求值，利用正交多项式的性质实现高效精确计算。该方法避免了人工截断无穷积分域，并适用于量子系统中类似的高振荡或衰减函数积分。