高斯-埃尔米特求积公式在带振荡衰减函数积分中的正则化变换技巧
题目描述
计算无穷区间积分 \(I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cos(\omega x) f(x) \, dx\)，其中 \(f(x)\) 是光滑函数，\(\omega\) 是较大的振荡频率。直接使用高斯-埃尔米特求积公式（权重函数为 \(e^{-x^2}\)）时，高频振荡会导致节点采样不足，积分误差显著增大。需通过正则化变换技巧抑制振荡性，提升计算效率。
解题步骤
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问题分析
- 被积函数包含 \(e^{-x^2} \cos(\omega x) f(x)\)，振荡部分 \(\cos(\omega x)\) 在 \(\omega\) 较大时需密集采样才能捕捉特征。
- 高斯-埃尔米特公式的节点针对 \(e^{-x^2}\) 设计，但未考虑振荡性，直接应用需大量节点，计算成本高。
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正则化变换核心思想
- 通过变量替换或函数分解，将振荡部分分离并解析积分，剩余部分用求积公式处理。
- 具体方法：利用傅里叶变换性质，将振荡函数转化为权重函数的调参形式。
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变换推导
- 步骤1：将余弦函数用欧拉公式展开：
\[ \cos(\omega x) = \frac{e^{i\omega x} + e^{-i\omega x}}{2} \]
积分转化为：
\[ I = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \left[ e^{i\omega x} + e^{-i\omega x} \right] f(x) \, dx \]
- 步骤2：完成平方，将指数部分与权重函数结合。例如：
\[ e^{-x^2} e^{i\omega x} = e^{-x^2 + i\omega x} = e^{-(x^2 - i\omega x)} = e^{-\left[ (x - i\omega/2)^2 + (\omega/2)^2 \right]} \]
通过配方得：
\[ e^{-x^2} e^{i\omega x} = e^{-(\omega/2)^2} \cdot e^{-(x - i\omega/2)^2} \]
- 步骤3：变量替换 \(t = x - i\omega/2\)（复平面平移），积分路径变为复平面上的直线。需验证被积函数在复平面解析性，确保柯西积分定理适用。
- 实际计算简化
- 为避免复变量，利用高斯函数的傅里叶变换公式：
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} e^{i\omega x} \, dx = \sqrt{\pi} e^{-\omega^2/4} \]
将原积分写为：
\[ I = \frac{1}{2} e^{-\omega^2/4} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \left[ e^{i\omega x} e^{\omega^2/4} + e^{-i\omega x} e^{\omega^2/4} \right] \, dx \]
- 定义新函数 \(g(x) = f(x) \cdot \frac{e^{i\omega x} + e^{-i\omega x}}{2} e^{\omega^2/4}\)，则积分变为：
\[ I = e^{-\omega^2/4} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} g(x) \, dx \]
此时 $ g(x) $ 的振荡性被部分抵消，可用高斯-埃尔米特公式直接计算右端积分。
- 数值实现步骤
- 选择高斯-埃尔米特节点 \(x_k\) 和权重 \(w_k\)（针对 \(e^{-x^2}\)）。
- 计算 \(g(x_k) = f(x_k) \cdot \cos(\omega x_k) e^{\omega^2/4}\)。
- 近似积分：
\[ I \approx e^{-\omega^2/4} \sum_{k=1}^n w_k g(x_k) \]
- 调整节点数 \(n\) 直至满足误差要求。
- 误差控制
- 振荡衰减因子 \(e^{-\omega^2/4}\) 在 \(\omega\) 大时显著减小，但 \(g(x)\) 可能包含残余振荡。
- 若 \(f(x)\) 光滑，误差由高斯-埃尔米特公式的余项决定：
\[ E_n \propto \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \]
通过增加 $ n $ 或对 $ f(x) $ 分段自适应处理进一步提高精度。
总结
通过正则化变换将振荡因子转化为指数衰减项，显著降低被积函数振荡性，使高斯-埃尔米特公式在较少节点下实现高精度积分。此方法适用于量子力学或电磁学中涉及振荡衰减的无穷积分计算。