蒙特卡洛积分法在金融衍生品定价中的风险中性测度应用 题目描述 假设需要计算一个欧式看涨期权的理论价格，其标的资产价格遵循几何布朗运动。在风险中性测度下，期权到期收益的期望值需通过蒙特卡洛积分法进行数值计算。核心问题是如何在随机路径模拟中正确应用风险中性测度，并控制蒙特卡洛估计的统计误差。 解题过程 1. 建立金融模型与风险中性测度 资产价格模型 ：标的资产价格 \( S_ t \) 满足随机微分方程： \[ dS_ t = r S_ t dt + \sigma S_ t dW_ t \] 其中 \( r \) 为无风险利率，\( \sigma \) 为波动率，\( W_ t \) 是标准布朗运动。 风险中性测度 ：在定价时，需将资产漂移率从真实世界的 \( \mu \) 替换为无风险利率 \( r \)，以确保折现后的资产价格为鞅。 期权收益函数 ：欧式看涨期权到期收益为 \( \max(S_ T - K, 0) \)，其中 \( K \) 为行权价，\( T \) 为到期时间。 2. 离散化随机过程 对时间区间 \( [ 0, T ] \) 进行离散化，步长为 \( \Delta t = T/N \)。 采用欧拉离散化生成资产价格路径： \[ S_ {t+\Delta t} = S_ t \exp\left( \left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)\Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} Z \right) \] 其中 \( Z \sim N(0,1) \) 是标准正态随机变量。此公式是几何布朗运动的精确解离散形式。 3. 蒙特卡洛路径模拟 生成 \( M \) 条独立资产价格路径： 对每条路径 \( i = 1, \dots, M \)： 初始化 \( S_ 0 \) 为当前资产价格。 对每个时间步 \( j = 1, \dots, N \)，生成随机数 \( Z \sim N(0,1) \)，更新 \( S_ j \) 如上式。 得到到期价格 \( S_ T^{(i)} \)。 计算每条路径的收益： \( V_ T^{(i)} = \max(S_ T^{(i)} - K, 0) \)。 4. 风险中性定价与折现 在风险中性测度下，期权价格为收益的期望值按无风险利率折现： \[ C = e^{-rT} \cdot \mathbb{E}^Q[ \max(S_ T - K, 0) ] \] 用蒙特卡洛估计代替期望值： \[ \hat{C} = e^{-rT} \cdot \frac{1}{M} \sum_ {i=1}^M V_ T^{(i)} \] 5. 误差分析与方差缩减 标准误差估计 ：蒙特卡洛估计的标准误差为： \[ \text{SE} = \frac{\sigma_ V}{\sqrt{M}}, \quad \sigma_ V^2 = \frac{1}{M-1} \sum_ {i=1}^M \left(V_ T^{(i)} - \frac{1}{M} \sum_ {j=1}^M V_ T^{(j)}\right)^2 \] 方差缩减技术 （以对偶变量法为例）： 对每条路径，同时生成一对对称路径： 路径 \( A \) 使用随机数 \( Z \)。 路径 \( B \) 使用随机数 \( -Z \)。 计算收益均值 \( \bar{V}_ T^{(i)} = \frac{V_ T^{(i,A)} + V_ T^{(i,B)}}{2} \)，替代单一路径收益。 利用 \( Z \) 与 \( -Z \) 的负相关性，减少方差。 6. 收敛性验证 增加模拟路径数 \( M \)，观察价格估计 \( \hat{C} \) 的收敛情况。 比较蒙特卡洛结果与布莱克-舒尔斯公式解析解（若存在），验证正确性。 关键点总结 风险中性测度通过调整漂移率体现无风险定价原理。 蒙特卡洛法的误差随 \( \sqrt{M} \) 衰减，需结合方差缩减技术提升效率。 离散化步长 \( \Delta t \) 需足够小以减小离散误差，但会增加计算成本。