蒙特卡洛积分法在带边界约束的多元函数积分中的重要性采样技术
题目描述
计算多元函数 \(f(x_1, x_2, \dots, x_d)\) 在区域 \(\Omega \subset \mathbb{R}^d\) 上的积分 \(I = \int_\Omega f(\mathbf{x}) \, d\mathbf{x}\)，其中 \(\Omega\) 是一个有界区域（如立方体、球体等）。若函数 \(f\) 在某些子区域变化剧烈或分布不均匀，直接使用均匀采样的蒙特卡洛方法可能方差较大、收敛慢。要求通过重要性采样技术优化采样分布，降低估计方差。
解题步骤
- 问题分析与均匀采样的局限性
- 蒙特卡洛积分的基本形式：
\[ I \approx \frac{V(\Omega)}{N} \sum_{i=1}^N f(\mathbf{x}_i), \quad \mathbf{x}_i \sim \text{Uniform}(\Omega) \]
其中 $ V(\Omega) $ 是区域体积，$ \mathbf{x}_i $ 为均匀随机点。
- 均匀采样的方差为 \(\text{Var} = \frac{V(\Omega)^2}{N} \cdot \text{Var}_{\mathbf{x} \sim U(\Omega)}[f(\mathbf{x})]\)。若 \(f\) 在某些区域值很大但占比小（如峰值函数），均匀采样会浪费大量样本在低贡献区域，导致方差高。
- 重要性采样的核心思想
- 引入一个概率密度函数 \(p(\mathbf{x}) > 0\)（满足 \(\int_\Omega p(\mathbf{x}) \, d\mathbf{x} = 1\)），将积分重写为：
\[ I = \int_\Omega \frac{f(\mathbf{x})}{p(\mathbf{x})} p(\mathbf{x}) \, d\mathbf{x} = \mathbb{E}_{p(\mathbf{x})} \left[ \frac{f(\mathbf{x})}{p(\mathbf{x})} \right]. \]
- 采样点改为从 \(p(\mathbf{x})\) 中抽取，估计值为：
\[ \hat{I} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \frac{f(\mathbf{x}_i)}{p(\mathbf{x}_i)}, \quad \mathbf{x}_i \sim p(\mathbf{x}). \]
- 方差变为 \(\text{Var} = \frac{1}{N} \cdot \text{Var}_{p(\mathbf{x})} \left[ \frac{f(\mathbf{x})}{p(\mathbf{x})} \right]\)。若 \(p(\mathbf{x}) \propto |f(\mathbf{x})|\)，则方差可显著降低。
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设计适合的重要性分布 \(p(\mathbf{x})\)
- 目标：使 \(\frac{f(\mathbf{x})}{p(\mathbf{x})}\) 尽可能接近常数。理想情况是 \(p(\mathbf{x}) = \frac{|f(\mathbf{x})|}{\int_\Omega |f(\mathbf{x})| \, d\mathbf{x}}\)，但分母本身是未知的积分值。
- 实用策略：
- 若 \(f\) 非负，可用近似函数 \(g(\mathbf{x}) \approx f(\mathbf{x})\)（如通过函数形态先验或初步采样拟合），令 \(p(\mathbf{x}) = \frac{g(\mathbf{x})}{\int_\Omega g(\mathbf{x}) \, d\mathbf{x}}\)。
- 若 \(f\) 有正负振荡，可采样于 \(p(\mathbf{x}) \propto |f(\mathbf{x})|\)，或分割区域分别处理。
- 边界约束处理：确保 \(p(\mathbf{x})\) 在 \(\Omega\) 外概率为零，例如使用截断分布或变换法。
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采样实现与积分估计
- 若 \(p(\mathbf{x})\) 是标准分布（如高斯分布、指数分布），可用变换法或拒绝采样生成点。
- 对每个采样点 \(\mathbf{x}_i \sim p(\mathbf{x})\)，计算权重 \(w_i = \frac{f(\mathbf{x}_i)}{p(\mathbf{x}_i)}\)，估计值为 \(\hat{I} = \frac{1}{N} \sum w_i\)。
- 方差的估计：
\[ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N \left( w_i - \hat{I} \right)^2. \]
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示例：二维峰值函数的积分
- 设 \(\Omega = [0,1]^2\)，\(f(x,y) = e^{-100[(x-0.5)^2 + (y-0.5)^2]}\)（尖峰在中心）。
- 均匀采样时，大部分点落在峰值外围，贡献近乎零。
- 重要性采样：选用二维高斯分布 \(p(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} e^{-\frac{(x-0.5)^2+(y-0.5)^2}{2\sigma^2}}\)（中心对齐峰值，方差 \(\sigma^2\) 根据峰值宽度调整）。
- 采样点集中于峰值附近，权重 \(w_i = f(\mathbf{x}_i)/p(\mathbf{x}_i)\) 波动小，方差显著降低。
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误差分析与优化要点
- 重要性采样的误差依赖 \(p(\mathbf{x})\) 与 \(f(\mathbf{x})\) 的匹配程度。可尝试自适应策略：根据初始采样调整 \(p(\mathbf{x})\)。
- 若 \(p(\mathbf{x})\) 在 \(f(\mathbf{x})\) 接近零处取值过小，会导致权重 \(w_i\) 不稳定，需避免 \(p(\mathbf{x})\) 衰减过快。
- 对于高维问题，需确保 \(p(\mathbf{x})\) 的采样效率，避免维数灾难。
总结
重要性采样通过调整采样分布，使样本更多集中于函数值大的区域，从而提高蒙特卡洛积分的效率。关键在于设计一个与 \(f\) 形态相似的概率分布，并注意边界约束下的采样可行性。