其中新被积函数 $ g(t) = f(\phi(t)) \phi'(t) $ 在整个区间上变化平缓。  

 其中 $ \alpha $ 控制边界层拉伸强度。该变换将 $ t \in (-1,1) $ 映射到 $ x \in (-1,1) $，且在 $ t \to \pm1 $ 时导数 $ \phi'(t) $ 趋于无穷，抵消 $ f(x) $ 在端点的剧烈变化。  

自适应高斯-克朗罗德积分法在带边界层函数积分中的正则化变换技巧 题目描述 考虑计算积分 \[ I = \int_ {-1}^{1} f(x) \, dx, \] 其中被积函数 \( f(x) \) 在区间端点附近存在边界层现象（例如 \( f(x) = e^{-100(1-x^2)^{-1}} \) 在 \( x \to \pm1 \) 时剧烈变化）。自适应高斯-克朗罗德积分法（如Gauss-Kronrod 7-15点规则）虽能通过嵌套节点估计误差，但直接应用时可能在边界层区域因采样不足导致精度下降。本题目要求结合正则化变换技巧，改进自适应积分算法对边界层函数的计算效率。 解题过程 问题分析 边界层函数在端点附近梯度极大，标准高斯求积公式的等距节点分布难以捕捉剧烈变化。 自适应高斯-克朗罗德法通过高阶（Kronrod节点）和低阶（Gauss节点）结果的差值估计误差，但若初始节点未覆盖边界层，误差估计可能失效。 正则化变换的核心思想 构造变量替换 \( x = \phi(t) \)，将原积分变换为 \[ I = \int_ {-1}^{1} f(\phi(t)) \phi'(t) \, dt, \] 其中新被积函数 \( g(t) = f(\phi(t)) \phi'(t) \) 在整个区间上变化平缓。 常用变换包括代数变换（如 \( x = \tanh^{-1}(t) \)）或指数拉伸，使节点在端点处密集分布。 变换函数的选择 针对边界层在 \( x = \pm1 \) 的情况，采用变换： \[ x = \tanh\left( \frac{\alpha}{2} \ln\frac{1+t}{1-t} \right), \] 其中 \( \alpha \) 控制边界层拉伸强度。该变换将 \( t \in (-1,1) \) 映射到 \( x \in (-1,1) \)，且在 \( t \to \pm1 \) 时导数 \( \phi'(t) \) 趋于无穷，抵消 \( f(x) \) 在端点的剧烈变化。 实际中可简化为 \( x = \operatorname{sgn}(t) \left( 1 - (1-|t|)^\beta \right) \)，其中 \( \beta > 1 \) 控制节点向端点聚集的程度。 自适应积分流程 步骤1 ：对变换后的积分 \( \int_ {-1}^{1} g(t) \, dt \) 应用Gauss-Kronrod规则（例如15点Kronrod节点嵌套7点Gauss节点）。 步骤2 ：计算Kronrod结果 \( Q_ K \) 与Gauss结果 \( Q_ G \) 的绝对误差 \( \Delta = |Q_ K - Q_ G| \)。 步骤3 ：若 \( \Delta \) 小于预设容差，返回 \( Q_ K \)；否则将区间二分，递归处理两个子区间。 关键改进 ：在递归前，检查端点附近子区间是否包含边界层（通过梯度估计），若有则优先加密该区域。 误差控制与稳定性 变换可能引入导数奇点，需确保 \( \phi'(t) \) 在数值计算中稳定（如用对数避免除零）。 容差设置需考虑变换的缩放效应，实际容差应设为 \( \epsilon \cdot \|g\|_ \infty \)。 示例计算 以 \( f(x) = e^{-100(1-x^2)^{-1}} \) 为例： 直接积分在 \( x \approx \pm0.99 \) 时 \( f(x) \) 从 \( 10^{-5} \) 骤变为 \( 0.9 \)，导致自适应算法在边界层误判误差。 应用变换 \( x = t / (1 - \log(1 - |t|)) \) 后，\( g(t) \) 在 \( t \to \pm1 \) 时平稳趋于零，15点Kronrod规则即可达到 \( 10^{-8} \) 精度。 总结 通过正则化变换将边界层函数的奇异性“平滑化”，再利用自适应高斯-克朗罗德法的高误差估计能力，可显著提升计算效率。该方法的核心在于变换函数的设计需匹配边界层特性，且自适应策略需优先处理高梯度区域。