非线性规划中的多目标优化加权和法进阶题 题目描述 考虑一个双目标非线性规划问题： 最小化 f₁(x) = (x₁ - 2)² + (x₂ - 1)² 最小化 f₂(x) = (x₁ - 1)² + (x₂ - 3)² 受约束于： g₁(x) = x₁ + x₂ - 2 ≤ 0 g₂(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 x₁, x₂ ∈ ℝ 使用加权和法将该多目标问题转化为单目标问题，并分析权重变化对Pareto前沿的影响。 解题过程 第一步：理解多目标优化问题 我们有两个相互冲突的目标函数f₁和f₂ f₁在点(2,1)处取得最小值0，f₂在点(1,3)处取得最小值0 由于约束条件的存在，这两个理想点可能不可行 我们需要找到Pareto最优解集，即无法在不损害另一个目标的情况下改进任何一个目标的解 第二步：加权和法转化 引入权重w ∈ [ 0,1 ]，将多目标问题转化为单目标问题： minimize F(x) = w·f₁(x) + (1-w)·f₂(x) subject to: g₁(x) ≤ 0, g₂(x) ≤ 0 展开目标函数： F(x) = w[ (x₁-2)² + (x₂-1)²] + (1-w)[ (x₁-1)² + (x₂-3)² ] = w(x₁² - 4x₁ + 4 + x₂² - 2x₂ + 1) + (1-w)(x₁² - 2x₁ + 1 + x₂² - 6x₂ + 9) = x₁² + x₂² - [ 4w + 2(1-w)]x₁ - [ 2w + 6(1-w)]x₂ + [ 5w + 10(1-w) ] 第三步：求解转化后的单目标问题 对于给定的w，这是一个带约束的二次规划问题 首先分析无约束情况下的最优解： ∂F/∂x₁ = 2x₁ - [ 4w + 2(1-w) ] = 0 ⇒ x₁ = 2w + (1-w) = 1 + w ∂F/∂x₂ = 2x₂ - [ 2w + 6(1-w) ] = 0 ⇒ x₂ = w + 3(1-w) = 3 - 2w 无约束最优解为：x* (w) = (1+w, 3-2w) 第四步：约束处理与可行性分析 检查无约束解是否满足约束： g₁(x* ) = (1+w) + (3-2w) - 2 = 2 - w ≤ 0？ 仅当w ≥ 2时不成立，但w ∈ [ 0,1]，所以g₁(x* ) = 2-w ≥ 1 > 0，总不满足 g₂(x* ) = (1+w)² - (3-2w) = 1 + 2w + w² - 3 + 2w = w² + 4w - 2 由于g₁(x* ) > 0对所有w ∈ [ 0,1 ]成立，无约束解不可行，最优解必在约束边界上 第五步：在约束边界上求解 考虑约束g₁(x) = 0（直线边界）： x₂ = 2 - x₁ 代入目标函数F(x)得到单变量函数，求导找极值点 考虑约束g₂(x) = 0（抛物线边界）： x₂ = x₁² 同样代入目标函数求极值 实际求解时需要在两条约束边界上分别寻找最优解，然后比较目标函数值 第六步：权重变化对Pareto前沿的影响 当w = 1：完全偏好f₁，解会靠近f₁的最优点(2,1)，但受约束限制 当w = 0：完全偏好f₂，解会靠近f₂的最优点(1,3)，但受约束限制 当w从0连续变化到1，得到一系列Pareto最优解，构成Pareto前沿 加权和法只能找到凸部分的Pareto前沿，如果Pareto前沿非凸，某些解无法通过该方法获得 第七步：具体数值验证 通过数值方法（如序列二次规划）对不同w值求解，可以绘制出Pareto前沿，展示两个目标函数之间的权衡关系。