高斯-拉盖尔求积公式在带边界层函数积分中的正则化变换技巧
题目描述
考虑计算半无穷区间上的带边界层特性的积分：
\[I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx, \]
其中被积函数 \(f(x)\) 在 \(x = 0\) 附近存在边界层（即函数值或导数值在局部剧烈变化）。高斯-拉盖尔求积公式本适用于权函数 \(e^{-x}\) 的积分，但边界层的存在会导致标准求积公式在边界区域精度不足。本题要求设计正则化变换，将边界层的影响平滑化，从而提高求积公式的数值精度。
解题过程
步骤1：分析边界层对积分的挑战
边界层特征表现为 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 附近梯度极大，例如 \(f(x) = \arctan(kx)\)（\(k \gg 1\)）。直接应用高斯-拉盖尔公式（节点和权重基于拉盖尔多项式）时，节点在区间内分布稀疏，边界层区域采样不足，导致截断误差显著。
步骤2：正则化变换的基本思想
通过变量替换 \(x = \phi(t)\)，将原积分变换为：
\[I = \int_{0}^{\infty} e^{-\phi(t)} f(\phi(t)) \phi'(t) \, dt. \]
目标是通过选择 \(\phi(t)\) 满足：
- 边界拉伸：将 \(t=0\) 附近的区域映射到 \(x=0\) 邻域，并在此处加密节点分布。
- 权函数匹配：保持变换后的权函数形式与高斯-拉盖尔公式的权函数 \(e^{-t}\) 一致，以直接应用标准公式。
步骤3：设计变换函数
常用变换为指数拉伸：
\[x = \phi(t) = \ln(1 + \alpha t), \quad \alpha > 0. \]
其导数为 \(\phi'(t) = \frac{\alpha}{1 + \alpha t}\)。代入原积分得：
\[I = \int_{0}^{\infty} e^{-\ln(1+\alpha t)} f(\ln(1+\alpha t)) \cdot \frac{\alpha}{1+\alpha t} \, dt = \int_{0}^{\infty} \frac{\alpha}{(1+\alpha t)^2} f(\ln(1+\alpha t)) \, dt. \]
此时权函数变为 \(\frac{\alpha}{(1+\alpha t)^2}\)，与标准拉盖尔权函数 \(e^{-t}\) 不匹配，需进一步调整。
步骤4：修正变换以匹配权函数
引入修正变换：
\[x = \phi(t) = -\ln\left( e^{-t} + \beta (1 - e^{-t}) \right), \quad \beta \in (0,1). \]
该函数满足：
- \(\phi(0) = -\ln(1) = 0\)，保持积分下限。
- 当 \(\beta \to 0^+\) 时，\(\phi(t) \approx t\)，退化为恒等变换。
- 当 \(\beta\) 接近 1 时，在 \(t=0\) 附近产生拉伸。
其导数为：
\[\phi'(t) = \frac{e^{-t} + \beta (1 - e^{-t}) - \beta e^{-t}}{e^{-t} + \beta (1 - e^{-t})} = \frac{1 - \beta}{e^{-t} + \beta (1 - e^{-t})}. \]
代入积分：
\[I = \int_{0}^{\infty} e^{-\phi(t)} f(\phi(t)) \phi'(t) \, dt = \int_{0}^{\infty} \left[ e^{-t} + \beta (1 - e^{-t}) \right] f(\phi(t)) \cdot \frac{1 - \beta}{e^{-t} + \beta (1 - e^{-t})} \, dt. \]
化简后权函数恰好为 \((1-\beta) e^{-t}\)，匹配高斯-拉盖尔公式的权函数（常数因子 \(1-\beta\) 可提前提取）。
步骤5：参数选择与数值实现
- 参数 \(\beta\)：控制边界层拉伸强度。通过试验或基于 \(f(x)\) 的边界层厚度（如梯度极大点的位置）调整，通常取 \(\beta = 1 - \varepsilon\)（\(\varepsilon \ll 1\)）。
- 求积过程：
- 计算标准高斯-拉盖尔节点 \(t_i\) 和权重 \(w_i\)（针对权函数 \(e^{-t}\)）。
- 对每个节点计算 \(x_i = \phi(t_i)\) 和变换后的被积函数值 \(g(t_i) = (1-\beta) f(x_i)\)。
- 积分近似为 \(I \approx \sum_{i=1}^n w_i g(t_i)\).
步骤6：误差分析
- 变换将边界层的剧烈变化平滑化，减少插值误差。
- 误差依赖于 \(f(x)\) 在变换后的光滑性，若 \(f(\phi(t))\) 更平滑，则高斯求积的代数精度得以发挥。
总结
通过正则化变换重新参数化积分区间，在保持权函数形式的前提下加密边界层区域的节点分布，有效提升了高斯-拉盖尔公式处理边界层问题的鲁棒性。