排序算法之：Patience Sorting（耐心排序）的最长递增子序列应用与优化策略 题目描述 给定一个整数数组 nums ，使用耐心排序算法找出其最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence, LIS）的长度。要求详细讲解耐心排序的原理、如何通过它求解 LIS 长度，并分析优化策略。 解题过程 1. 耐心排序的基本原理 耐心排序是一种基于分组的排序算法，其核心思想是将元素依次分配到若干堆（pile）中，遵循两条规则： 规则1：每个堆顶元素按非递减顺序排列（即堆顶从左到右递增）。 规则2：每个新元素 x 必须放入最左侧堆顶 ≥ x 的堆中（保证堆顶有序）。若没有满足条件的堆，则新建一个堆。 示例 ：对数组 [3, 1, 4, 2, 5] 的耐心排序过程： 初始：无堆。 3 → 新建堆1： [3] 1（1 < 3）→ 堆1顶替换为1： [1] 4（4 > 1）→ 新建堆2： [1, 4] （堆顶为1和4） 2（2介于1和4之间）→ 放入堆2（堆顶4≥2）：堆2顶变为2 → [1, 2] 5（5 > 2）→ 新建堆3： [1, 2, 5] 最终堆数 = 3。 2. 耐心排序与最长递增子序列（LIS）的关系 关键结论： 耐心排序的堆数等于最长递增子序列的长度 。 每个堆对应LIS中的一个元素分组，堆的生成顺序隐含了递增子序列的构造逻辑。 数学证明（直观理解）：每个堆保存一个递减序列，而不同堆的堆顶组成一个递增序列。堆数即为最长递增子序列长度。 3. 算法实现步骤 步骤1：初始化一个空列表 piles 存储堆顶元素。 步骤2：遍历数组中的每个元素 x ： 在 piles 中使用二分查找找到第一个堆顶 ≥ x 的位置。 若找到，用 x 替换该堆顶（保证堆顶有序）；若未找到，在末尾新建堆（即添加 x ）。 步骤3：最终 piles 的长度即为 LIS 的长度。 示例详析 ： nums = [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18] 10 → piles = [10] 9（替换10）→ piles = [9] 2（替换9）→ piles = [2] 5（新建堆）→ piles = [2, 5] 3（替换5）→ piles = [2, 3] 7（新建堆）→ piles = [2, 3, 7] 101（新建堆）→ piles = [2, 3, 7, 101] 18（替换101）→ piles = [2, 3, 7, 18] LIS长度 = 4（如 [2, 5, 7, 101] 或 [2, 3, 7, 18] ）。 4. 优化策略 二分查找优化 ：维护 piles 为有序数组，每次查找插入位置的时间为 O(log L)，整体复杂度 O(N log L)（L为LIS长度）。 空间优化 ：仅需存储堆顶，空间复杂度 O(L)。 扩展应用 ：若需输出具体LIS，需额外记录每个元素的前驱指针（通过回溯堆中历史版本实现）。 5. 总结 耐心排序将LIS问题转化为维护有序堆顶的过程，通过二分查找保证高效性。该算法是求解LIS长度的最优方法之一，兼顾时间（O(N log N)）和空间效率。