自适应辛普森积分法在带峰值函数积分中的误差传播分析 题目描述：考虑计算积分 \( I = \int_ a^b f(x) \, dx \)，其中被积函数 \( f(x) \) 在区间 \([ a, b ]\) 上存在一个或多个尖锐的峰值。这类函数在峰值附近变化剧烈，而在其他区域相对平缓。自适应辛普森积分法通过递归地对子区间进行细分，在峰值区域采用更小的步长以提高精度。本题要求分析该算法在计算带峰值函数积分时，局部误差如何传播并影响整体积分结果的精度。 解题过程： 自适应辛普森积分法基本原理 在区间 \([ a, b]\) 上，使用辛普森公式计算积分近似值 \( S(a, b) = \frac{b-a}{6} \left[ f(a) + 4f\left( \frac{a+b}{2} \right) + f(b) \right ] \)。 将区间等分为两个子区间 \([ a, m]\) 和 \([ m, b ]\)（其中 \( m = \frac{a+b}{2} \)），分别应用辛普森公式得到 \( S(a, m) \) 和 \( S(m, b) \)。 比较 \( S(a, b) \) 与 \( S(a, m) + S(m, b) \) 的差值。若差值小于预设容差 \( \epsilon \)，则接受 \( S(a, m) + S(m, b) \) 作为积分近似；否则，对每个子区间递归执行相同操作。 峰值函数对误差传播的影响 在峰值区域，函数二阶导数 \( f''(x) \) 的绝对值较大，导致辛普森公式的局部截断误差 \( E = -\frac{(b-a)^5}{2880} f^{(4)}(\xi) \)（其中 \( \xi \in [ a, b ] \)）显著增加。 自适应算法会在峰值附近自动细分区间，减少步长 \( h = b-a \)，从而降低局部误差（因为误差与 \( h^5 \) 成正比）。 然而，峰值区域的误差可能通过递归过程传播到整体积分：若峰值处的局部误差未充分控制，其影响会累积到父区间的积分结果中。 误差传播的定量分析 设整体积分区间被划分为 \( n \) 个子区间，每个子区间的局部误差为 \( E_ i \)（\( i = 1, 2, \dots, n \)）。 整体误差 \( E_ {\text{total}} = \sum_ {i=1}^n E_ i \)。对于峰值区域，\( |E_ i| \) 可能远大于平缓区域。 自适应算法通过容差 \( \epsilon \) 控制每个子区间的误差：当 \( |S(a, b) - [ S(a, m) + S(m, b)]| < \epsilon \) 时停止细分。但实际误差可能受峰值影响而分布不均。 减小误差传播的策略 动态容差调整 ：在峰值区域使用更严格的局部容差（例如 \( \epsilon_ {\text{local}} = \epsilon \cdot \frac{h_ i}{b-a} \)），确保峰值处的误差贡献被有效抑制。 后验误差估计 ：利用 Richardson 外推法比较不同细分层次的结果，估计峰值区域的误差贡献，并针对性加密网格。 正则化变换 ：对函数进行变量替换（如 \( x = \tan(t) \)），将峰值区域拉伸到更大的区间范围，降低局部导数值。 实例分析 考虑 \( f(x) = e^{-100(x-0.5)^2} \) 在 \([ 0, 1 ]\) 上的积分（高斯型峰值）。 自适应辛普森法会在 \( x=0.5 \) 附近密集细分，平缓区域则用较少节点。 若直接采用均匀容差 \( \epsilon \)，峰值处的局部误差可能占主导；采用动态容差后，整体误差分布更均匀，精度提升。 总结：自适应辛普森积分法通过局部细分有效处理峰值函数，但需注意误差传播的影响。通过动态容差和正则化变换，可优化误差分布，提高计算效率与精度。