CRYSTALS-Dilithium 后量子数字签名算法中的多项式运算与NTT加速
字数 2235 2025-11-27 12:56:10

CRYSTALS-Dilithium 后量子数字签名算法中的多项式运算与NTT加速

题目描述

CRYSTALS-Dilithium 是一种基于格的后量子数字签名算法，其安全性依赖于模块格上短整数解问题（MLWE 和 MSIS）的困难性。算法核心操作涉及多项式环 \(\mathbb{Z}_q[X]/(X^n+1)\) 上的乘法、加法及数乘运算，其中 \(n=256\)，\(q=8380417\)（一个质数）。由于多项式乘法是计算瓶颈，Dilithium 使用数论变换（NTT） 将多项式乘法复杂度从 \(O(n^2)\) 降至 \(O(n\log n)\)，显著提升签名与验证效率。本题要求详细解释 Dilithium 中多项式运算的 NTT 加速原理及具体步骤。

1. 多项式环与 NTT 的适配性

Dilithium 的多项式环为 \(R_q = \mathbb{Z}_q[X]/(X^n+1)\)，其中 \(n=256\) 是 2 的幂次，且质数 \(q\) 满足 \(q \equiv 1 \pmod{2n}\)，即存在 \(2n\) 次本原单位根。这一性质使得 NTT 可在 \(R_q\) 上直接应用：

  • NTT 定义：NTT 是有限域上的离散傅里叶变换（DFT），将多项式 \(f \in R_q\) 从系数表示转换为点值表示。
  • 关键性质：在点值表示下，多项式乘法变为逐点乘法（\(O(n)\) 复杂度），再通过逆 NTT 恢复系数表示。

2. NTT 的具体步骤

步骤 1：预计算单位根

在 \(\mathbb{Z}_q\) 中找到一个 \(2n\) 次本原单位根 \(\omega\)，满足 \(\omega^{2n} = 1\) 且 \(\omega^k \neq 1\)（对 \(k<2n\)）。例如，Dilithium 中 \(\omega\) 可通过枚举找到：

\[\omega = 1753 \quad (\text{验证 } \omega^{512} \equiv 1 \pmod{8380417}) \]

进一步计算 \(n\) 次单位根 \(\psi = \omega^2\)，用于加速变换。

步骤 2：正向 NTT（系数 → 点值）

输入多项式 \(f = \sum_{i=0}^{n-1} f_i X^i\) 的系数向量 \([f_0, f_1, ..., f_{n-1}]\)。

  1. 位反转置换：将系数按二进制位反转顺序重排（例如 \(n=8\) 时，索引 \(0,1,2,3,4,5,6,7\) 变为 \(0,4,2,6,1,5,3,7\)）。
  2. 迭代合并：
    • 从长度为 2 的子多项式开始，逐层合并（类似 Cooley-Tukey FFT）。
    • 每层合并时，乘以旋转因子 \(\psi^k\)（\(k\) 依赖当前层索引）。
    • 最终得到点值表示 \(\hat{f} = [f(\psi^0), f(\psi^1), ..., f(\psi^{n-1})]\)。

伪代码示例（简化）：

def ntt(f):  
    f = bit_reverse(f)  
    m = 1  
    while m < n:  
        for i in range(0, n, 2*m):  
            for j in range(i, i+m):  
                t = psi * f[j + m]  # psi 为预计算旋转因子  
                f[j + m] = f[j] - t  
                f[j] = f[j] + t  
        m <<= 1  
    return f

步骤 3：点值乘法

若需计算 \(h = f \cdot g\)，直接在点值形式下逐点相乘：

\[\hat{h}_i = \hat{f}_i \cdot \hat{g}_i \pmod{q} \]

复杂度从 \(O(n^2)\) 降至 \(O(n)\)。

步骤 4：逆 NTT（点值 → 系数）

  1. 对点值向量进行类似正向 NTT 的操作，但使用 \(\psi^{-1}\) 作为旋转因子。
  2. 最终结果乘以 \(n^{-1} \pmod{q}\)（标量乘法），恢复系数表示。

3. Dilithium 中的优化技巧

  1. 懒约简（Lazy Reduction）：在 NTT 计算中，延迟模运算至必要时，减少模操作次数。
  2. 合并运算：在签名过程中，将多个多项式乘法合并为一次 NTT，例如同时计算 \(s_1 + c \cdot y\) 和 \(s_2 + c \cdot w\) 的 NTT 形式。
  3. 避免逆 NTT：部分中间结果可保留为点值形式，直到最终步骤才转换回系数表示。

4. 实例说明（简化场景）

假设 \(n=4\)，\(q=17\)，单位根 \(\omega=4\)（满足 \(\omega^8=1\)）。

  • 多项式 \(f = 1 + 2X + 3X^2 + 4X^3\)。
  • 正向 NTT 后得到点值：

\[ f(1)=10, \quad f(4)=2, \quad f(16)=14, \quad f(13)=12 \]

  • 若与 \(g = 2 + X + X^3\) 相乘，先计算 \(g\) 的点值，再逐点乘得到 \(h\) 的点值，最后逆 NTT 恢复 \(h\)。

5. 安全性关联

NTT 本身不改变算法安全性，但需注意：

  • 随机多项式采样（如高斯噪声）必须在系数表示下进行，避免在点值域引入可预测性。
  • 签名中的拒绝采样步骤需在系数表示下完成，确保输出分布与噪声独立。

通过上述步骤，Dilithium 利用 NTT 显著提升了多项式运算效率，使其适用于后量子时代的嵌入式设备与高速网络场景。

CRYSTALS-Dilithium 后量子数字签名算法中的多项式运算与NTT加速 题目描述 CRYSTALS-Dilithium 是一种基于格的后量子数字签名算法，其安全性依赖于模块格上短整数解问题（MLWE 和 MSIS）的困难性。算法核心操作涉及多项式环 \( \mathbb{Z}_ q[ X]/(X^n+1) \) 上的乘法、加法及数乘运算，其中 \( n=256 \)，\( q=8380417 \)（一个质数）。由于多项式乘法是计算瓶颈，Dilithium 使用 数论变换（NTT） 将多项式乘法复杂度从 \( O(n^2) \) 降至 \( O(n\log n) \)，显著提升签名与验证效率。本题要求详细解释 Dilithium 中多项式运算的 NTT 加速原理及具体步骤。 1. 多项式环与 NTT 的适配性 Dilithium 的多项式环为 \( R_ q = \mathbb{Z}_ q[ X]/(X^n+1) \)，其中 \( n=256 \) 是 2 的幂次，且质数 \( q \) 满足 \( q \equiv 1 \pmod{2n} \)，即存在 \( 2n \) 次本原单位根。这一性质使得 NTT 可在 \( R_ q \) 上直接应用： NTT 定义 ：NTT 是有限域上的离散傅里叶变换（DFT），将多项式 \( f \in R_ q \) 从系数表示转换为点值表示。 关键性质 ：在点值表示下，多项式乘法变为逐点乘法（\( O(n) \) 复杂度），再通过逆 NTT 恢复系数表示。 2. NTT 的具体步骤 步骤 1：预计算单位根 在 \( \mathbb{Z}_ q \) 中找到一个 \( 2n \) 次本原单位根 \( \omega \)，满足 \( \omega^{2n} = 1 \) 且 \( \omega^k \neq 1 \)（对 \( k <2n \)）。例如，Dilithium 中 \( \omega \) 可通过枚举找到： \[ \omega = 1753 \quad (\text{验证 } \omega^{512} \equiv 1 \pmod{8380417}) \] 进一步计算 \( n \) 次单位根 \( \psi = \omega^2 \)，用于加速变换。 步骤 2：正向 NTT（系数 → 点值） 输入多项式 \( f = \sum_ {i=0}^{n-1} f_ i X^i \) 的系数向量 \( [ f_ 0, f_ 1, ..., f_ {n-1} ] \)。 位反转置换 ：将系数按二进制位反转顺序重排（例如 \( n=8 \) 时，索引 \( 0,1,2,3,4,5,6,7 \) 变为 \( 0,4,2,6,1,5,3,7 \)）。 迭代合并 ： 从长度为 2 的子多项式开始，逐层合并（类似 Cooley-Tukey FFT）。 每层合并时，乘以旋转因子 \( \psi^k \)（\( k \) 依赖当前层索引）。 最终得到点值表示 \( \hat{f} = [ f(\psi^0), f(\psi^1), ..., f(\psi^{n-1}) ] \)。 伪代码示例 （简化）： 步骤 3：点值乘法 若需计算 \( h = f \cdot g \)，直接在点值形式下逐点相乘： \[ \hat{h}_ i = \hat{f}_ i \cdot \hat{g}_ i \pmod{q} \] 复杂度从 \( O(n^2) \) 降至 \( O(n) \)。 步骤 4：逆 NTT（点值 → 系数） 对点值向量进行类似正向 NTT 的操作，但使用 \( \psi^{-1} \) 作为旋转因子。 最终结果乘以 \( n^{-1} \pmod{q} \)（标量乘法），恢复系数表示。 3. Dilithium 中的优化技巧 懒约简（Lazy Reduction） ：在 NTT 计算中，延迟模运算至必要时，减少模操作次数。 合并运算 ：在签名过程中，将多个多项式乘法合并为一次 NTT，例如同时计算 \( s_ 1 + c \cdot y \) 和 \( s_ 2 + c \cdot w \) 的 NTT 形式。 避免逆 NTT ：部分中间结果可保留为点值形式，直到最终步骤才转换回系数表示。 4. 实例说明（简化场景） 假设 \( n=4 \)，\( q=17 \)，单位根 \( \omega=4 \)（满足 \( \omega^8=1 \)）。 多项式 \( f = 1 + 2X + 3X^2 + 4X^3 \)。 正向 NTT 后得到点值： \[ f(1)=10, \quad f(4)=2, \quad f(16)=14, \quad f(13)=12 \] 若与 \( g = 2 + X + X^3 \) 相乘，先计算 \( g \) 的点值，再逐点乘得到 \( h \) 的点值，最后逆 NTT 恢复 \( h \)。 5. 安全性关联 NTT 本身不改变算法安全性，但需注意： 随机多项式采样（如高斯噪声）必须在系数表示下进行，避免在点值域引入可预测性。 签名中的拒绝采样步骤需在系数表示下完成，确保输出分布与噪声独立。 通过上述步骤，Dilithium 利用 NTT 显著提升了多项式运算效率，使其适用于后量子时代的嵌入式设备与高速网络场景。