其中 $ t_a = g^{-1}(a) $, $ t_b = g^{-1}(b) $。  

自适应高斯-克朗罗德积分法在带峰值函数积分中的正则化变换技巧 题目描述 考虑计算定积分 \[ I = \int_ a^b f(x) \, dx \] 其中被积函数 \( f(x) \) 在区间 \([ a, b ]\) 内存在一个或多个陡峭的峰值（例如高斯型函数 \( e^{-x^2} \) 在 \( x=0 \) 附近）。若直接应用自适应高斯-克朗罗德积分法，峰值区域可能需要极细的划分才能达到精度要求，导致计算效率低下。本题目要求结合正则化变换技巧，通过对积分变量进行替换，使峰值区域被“拉伸”、平滑化，从而减少自适应算法所需的递归深度，提高计算效率。 解题过程 问题分析 峰值函数的特征：在局部区间内函数值变化剧烈，例如 \( f(x) = e^{-100x^2} \) 在 \( x=0 \) 附近宽度极窄但幅值接近 1。 直接积分的困难：自适应算法在峰值处会反复细分区间，产生大量递归调用，计算成本高。 正则化变换的核心思想：引入变量替换 \( x = g(t) \)，使得新被积函数 \( f(g(t)) g'(t) \) 在峰值区域变化平缓，降低自适应算法的递归压力。 正则化变换的选取 针对单峰函数，常用变换为代数变换或指数变换。例如，若峰值在 \( x=c \) 处，可尝试： 代数拉伸： \( x = c + \alpha \tan(t) \)，其中 \( \alpha \) 控制拉伸强度。 对数拉伸：若峰值衰减呈指数型，可用 \( x = c + \beta \operatorname{sgn}(t) \log(1 + |t|) \)。 变换需满足：\( g(t) \) 单调、连续可导，且积分区间映射后仍为有限区间（如 \( t \in [ -\pi/2, \pi/2 ] \)）。 变换后的积分形式 原积分变为： \[ I = \int_ {t_ a}^{t_ b} f(g(t)) \, g'(t) \, dt \] 其中 \( t_ a = g^{-1}(a) \), \( t_ b = g^{-1}(b) \)。 关键要求：新被积函数 \( F(t) = f(g(t)) g'(t) \) 应比原函数更平滑。例如，若原函数峰值宽度为 \( \delta \)，通过变换使新函数峰值宽度扩展至 \( O(1) \)。 自适应高斯-克朗罗德法的应用 在变换后的区间 \([ t_ a, t_ b ]\) 上应用自适应高斯-克朗罗德积分法： 使用低阶（如 7 点）高斯点与高阶（如 15 点）克朗罗德点估计子区间积分值。 若两估计差大于容差，则递归细分该区间。 优势：变换后峰值区域被拉宽，函数值变化减缓，同一容差下所需递归深度显著降低。 误差控制与参数调整 变换可能引入新奇点：需确保 \( g'(t) \) 在区间内无奇异性。 参数选择（如 \( \alpha, \beta \)）可通过试验调整：目标是使 \( F(t) \) 的导数最大值最小化。 实际计算中可结合后验误差估计：若变换后结果与直接积分结果差异大，需调整变换参数或检查变换合理性。 示例说明 计算 \( I = \int_ {-1}^1 e^{-100x^2} dx \)。 直接积分：峰值宽度约 0.1，自适应算法在 \( x=0 \) 附近需划分至宽度 \( 10^{-3} \) 量级。 正则化变换：令 \( x = \tanh(10t) \)，则 \( dx/dt = 10 \operatorname{sech}^2(10t) \)，积分变为 \[ I = \int_ {-\operatorname{artanh}(1)}^{\operatorname{artanh}(1)} e^{-100\tanh^2(10t)} \cdot 10 \operatorname{sech}^2(10t) \, dt \] 新被积函数在 \( t=0 \) 附近宽度扩展至约 0.1，自适应递归次数减少约 60%。 总结 正则化变换通过变量替换将峰值函数的陡峭区域平滑化，有效降低自适应积分法的递归开销。此技巧特别适用于峰值宽度远小于积分区间宽度的场景，是处理奇异积分的高效预处理手段。