自适应高斯-克朗罗德积分法在带奇异点函数积分中的正则化变换技巧 题目描述 计算定积分 \[ I = \int_ {0}^{1} \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}} \, dx \] 该积分在 \(x = 0\) 处存在奇异性（被积函数趋于无穷大），直接使用数值积分方法（如自适应高斯-克朗罗德法）可能在奇点附近产生较大误差。要求通过正则化变换消除奇异性，并结合自适应高斯-克朗罗德法进行数值计算。 解题过程 1. 分析奇异性 被积函数 \(f(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}}\) 在 \(x=0\) 处具有 \(x^{-1/2}\) 型奇异性。虽然积分收敛（因为 \(\int_ {0}^{1} x^{-1/2} dx = 2\) 收敛），但直接数值计算时，奇点附近函数值变化剧烈，导致积分精度下降。 2. 正则化变换 通过变量替换消去奇异性。令： \[ x = t^2 \quad \Rightarrow \quad dx = 2t \, dt \] 积分区间变为 \(t \in [ 0, 1 ]\)（因为 \(x=0 \rightarrow t=0\)，\(x=1 \rightarrow t=1\)）。代入原积分： \[ I = \int_ {0}^{1} \frac{\cos(t^2)}{\sqrt{t^2}} \cdot 2t \, dt = \int_ {0}^{1} 2\cos(t^2) \, dt \] 新被积函数 \(g(t) = 2\cos(t^2)\) 在 \(t \in [ 0, 1 ]\) 上光滑（无穷次可微），奇异性被消除。 3. 自适应高斯-克朗罗德法原理 基础思想 ：在子区间上分别用高斯求积法（高阶精度）和克朗罗德法（嵌套节点）计算积分，通过两者差值估计误差。 步骤 ： 将区间 \([ a,b ]\) 等分为若干子区间。 在每个子区间上计算高斯积分值 \(G\) 和克朗罗德值 \(K\)（克朗罗德节点包含高斯节点）。 若 \(|G - K| < \epsilon\)（预设容差），接受 \(K\)；否则递归细分该区间。 优势 ：自适应处理函数剧烈变化区域，避免全局均匀划分的低效性。 4. 应用自适应高斯-克朗罗德法 对变换后的积分 \(I = \int_ {0}^{1} 2\cos(t^2) \, dt\) 执行以下步骤： 设置参数 ：容差 \(\epsilon = 10^{-8}\)，最大递归深度（如 20 层）。 初始区间 ：整体区间 \([ 0, 1 ]\)。 计算子区间积分 ： 使用 7 点高斯公式和 15 点克朗罗德公式计算当前区间近似值 \(G\) 和 \(K\)。 若 \(|G - K| < \epsilon \cdot (b-a)\)，接受 \(K\) 并累加。 否则将区间二分，递归处理两个子区间。 终止条件 ：所有子区间满足容差或达到最大递归深度。 5. 误差与稳定性分析 正则化效果 ：变换后函数光滑，高斯-克朗罗德法的高代数精度（15 点公式达 29 阶）可快速收敛。 误差控制 ：自适应策略确保奇点邻域（对应 \(t \approx 0\)）被充分细分，但因函数光滑，实际所需细分次数较少。 与原积分对比 ：若直接对原积分应用自适应法，在 \(x \approx 0\) 处需大量细分，计算量显著增加。 6. 数值结果示例 解析解参考值：\(I \approx 1.809048475800\ldots\)（通过级数展开或特殊函数可得）。 正则化变换后，自适应高斯-克朗罗德法通常可在少于 10 层递归内达到 \(10^{-8}\) 精度。 直接计算原积分时，需约 3 倍以上的子区间数才能达到相同精度。 总结 通过变量替换 \(x = t^2\) 将奇异积分转化为光滑积分，再利用自适应高斯-克朗罗德法高效计算。此方法适用于含 \(x^\alpha\)（\(\alpha > -1\)）类奇异性的积分，可通过选择适当的变换（如 \(x = t^k\)）消去奇点。