最小割的 Gomory-Hu 树算法

字数 1909 2025-11-27 09:30:55

最小割的 Gomory-Hu 树算法

题目描述
给定一个无向连通图 \(G = (V, E)\)，每条边有一个非负容量（权重），要求构建一棵 Gomory-Hu 树（也称为割树）。这棵树具有以下性质：

树的节点与原图节点相同（即 \(V\) 是树的节点集）。
对于树中任意一条边 \(e\)，若移除 \(e\)，树会分裂成两个连通分支，对应原图的一个最小割。
对于任意一对节点 \(s\) 和 \(t \，它们在树上的唯一路径中容量最小的边，其容量等于原图中 \( s\) 和 \(t\) 之间的最小割容量。

目标：高效地构造 Gomory-Hu 树，使其能快速回答任意两点间的最小割查询。

解题过程

1. 基本思想

Gomory-Hu 算法通过递归地将图分割成更小的部分，逐步构建割树。核心步骤是：

选择当前节点集合中的两个节点作为源点（\(s\)）和汇点（\(t\)），计算它们之间的最大流（最小割）。
根据最小割将节点划分成两个集合，并在割树中添加一条边连接这两个集合的代表节点。
递归处理每个划分后的子图，直到每个集合只剩一个节点。

2. 算法步骤详解

步骤 1：初始化

设当前节点集合 \(S = V\)（所有节点），初始时整个图是待处理的区域。
割树初始为空（只有节点，无边）。

步骤 2：选择源汇点

从当前集合 \(S\) 中任选两个节点 \(s\) 和 \(t\)（通常选择集合中第一个和最后一个节点）。
若 \(|S| = 1\)，则无需处理，直接返回。

步骤 3：计算最小割

在原图 \(G\) 上，以 \(s\) 为源点、\(t\) 为汇点，运行最大流算法（如 Edmonds-Karp 或 Dinic），得到最小割 \((A, B)\)，其中 \(s \in A\)，\(t \in B\)。
最小割的容量记为 \(\lambda(s, t)\)。

步骤 4：添加割树边

在割树中，添加一条连接 \(A\) 和 \(B\) 的代表节点的边。
- 若 \(A\) 或 \(B\) 中已有代表节点（来自之前的递归），则直接使用该节点；否则任选一个节点作为代表。
边的容量设为 \(\lambda(s, t)\)。

步骤 5：递归处理子图

对子图 \(G_A\)（由集合 \(A\) 诱导的子图）和 \(G_B\)（由集合 \(B\) 诱导的子图）分别递归执行步骤 2–5。
递归时，需保持原图的边容量，但收缩另一部分节点：
- 处理 \(G_A\) 时，将 \(B\) 收缩为一个超级节点（与 \(A\) 中所有连边保留，容量叠加）。
- 处理 \(G_B\) 时，将 \(A\) 收缩为一个超级节点。

步骤 6：终止条件

当每个节点集合大小变为 1 时，递归结束。

3. 示例演示（简化）

考虑一个 4 节点的图：

节点：1, 2, 3, 4  
边：(1,2, cap=2), (2,3, cap=3), (3,4, cap=4), (1,3, cap=1)

（容量为边的权重）

递归过程：

初始集合 \(S = \{1,2,3,4\}\)，选 \(s=1, t=4\)。
- 最大流计算得最小割 \(A=\{1,2,3\}, B=\{4\}\)，容量为 4（割边为 (3,4)）。
- 割树添加边 (3,4) 容量 4。
递归处理 \(A=\{1,2,3\}\)（收缩 B 为超级节点）。
- 选 \(s=1, t=3\)，最大流得最小割 \(A'=\{1,2\}, B'=\{3\}\)，容量为 3（割边为 (2,3)）。
- 割树添加边 (2,3) 容量 3。
递归处理 \(A'=\{1,2\}\)，选 \(s=1, t=2\)，最小割容量为 2（割边为 (1,2)）。
- 割树添加边 (1,2) 容量 2。

最终割树为：

1 --2-- 2 --3-- 3 --4-- 4

任意两点间最小割可通过树上路径最小边容量得到。

4. 关键点说明

收缩操作：递归时收缩另一部分节点，确保子图的最小割与原图一致。
复杂度：共需 \(n-1\) 次最大流计算（\(n = |V|\)），若用 Dinic 算法（复杂度 \(O(V^2E)\)），总复杂度为 \(O(V^3E)\)，但实际优化后可达 \(O(V^2 \cdot \text{maxflow})\)。
应用：割树一旦构建，任意两点最小割查询可在 \(O(\log V)\) 时间内完成（使用树上 RMQ）。

总结
Gomory-Hu 树将原图的所有最小割信息编码成一棵树，通过递归划分和最大流计算逐步构建，是解决最小割查询的高效数据结构。

最小割的 Gomory-Hu 树算法题目描述给定一个无向连通图 \( G = (V, E) \)，每条边有一个非负容量（权重），要求构建一棵 Gomory-Hu 树（也称为割树）。这棵树具有以下性质：树的节点与原图节点相同（即 \( V \) 是树的节点集）。对于树中任意一条边 \( e \)，若移除 \( e \)，树会分裂成两个连通分支，对应原图的一个最小割。对于任意一对节点 \( s \) 和 \( t \，它们在树上的唯一路径中容量最小的边，其容量等于原图中 \( s \) 和 \( t \) 之间的最小割容量。目标：高效地构造 Gomory-Hu 树，使其能快速回答任意两点间的最小割查询。解题过程 1. 基本思想 Gomory-Hu 算法通过递归地将图分割成更小的部分，逐步构建割树。核心步骤是：选择当前节点集合中的两个节点作为源点（\( s \)）和汇点（\( t \)），计算它们之间的最大流（最小割）。根据最小割将节点划分成两个集合，并在割树中添加一条边连接这两个集合的代表节点。递归处理每个划分后的子图，直到每个集合只剩一个节点。 2. 算法步骤详解步骤 1：初始化设当前节点集合 \( S = V \)（所有节点），初始时整个图是待处理的区域。割树初始为空（只有节点，无边）。步骤 2：选择源汇点从当前集合 \( S \) 中任选两个节点 \( s \) 和 \( t \)（通常选择集合中第一个和最后一个节点）。若 \( |S| = 1 \)，则无需处理，直接返回。步骤 3：计算最小割在原图 \( G \) 上，以 \( s \) 为源点、\( t \) 为汇点，运行最大流算法（如 Edmonds-Karp 或 Dinic），得到最小割 \( (A, B) \)，其中 \( s \in A \)，\( t \in B \)。最小割的容量记为 \( \lambda(s, t) \)。步骤 4：添加割树边在割树中，添加一条连接 \( A \) 和 \( B \) 的代表节点的边。若 \( A \) 或 \( B \) 中已有代表节点（来自之前的递归），则直接使用该节点；否则任选一个节点作为代表。边的容量设为 \( \lambda(s, t) \)。步骤 5：递归处理子图对子图 \( G_ A \)（由集合 \( A \) 诱导的子图）和 \( G_ B \)（由集合 \( B \) 诱导的子图）分别递归执行步骤 2–5。递归时，需保持原图的边容量，但收缩另一部分节点：处理 \( G_ A \) 时，将 \( B \) 收缩为一个超级节点（与 \( A \) 中所有连边保留，容量叠加）。处理 \( G_ B \) 时，将 \( A \) 收缩为一个超级节点。步骤 6：终止条件当每个节点集合大小变为 1 时，递归结束。 3. 示例演示（简化）考虑一个 4 节点的图：（容量为边的权重）递归过程：初始集合 \( S = \{1,2,3,4\} \)，选 \( s=1, t=4 \)。最大流计算得最小割 \( A=\{1,2,3\}, B=\{4\} \)，容量为 4（割边为 (3,4)）。割树添加边 (3,4) 容量 4。递归处理 \( A=\{1,2,3\} \)（收缩 B 为超级节点）。选 \( s=1, t=3 \)，最大流得最小割 \( A'=\{1,2\}, B'=\{3\} \)，容量为 3（割边为 (2,3)）。割树添加边 (2,3) 容量 3。递归处理 \( A'=\{1,2\} \)，选 \( s=1, t=2 \)，最小割容量为 2（割边为 (1,2)）。割树添加边 (1,2) 容量 2。最终割树为：任意两点间最小割可通过树上路径最小边容量得到。 4. 关键点说明收缩操作：递归时收缩另一部分节点，确保子图的最小割与原图一致。复杂度：共需 \( n-1 \) 次最大流计算（\( n = |V| \)），若用 Dinic 算法（复杂度 \( O(V^2E) \)），总复杂度为 \( O(V^3E) \)，但实际优化后可达 \( O(V^2 \cdot \text{maxflow}) \)。应用：割树一旦构建，任意两点最小割查询可在 \( O(\log V) \) 时间内完成（使用树上 RMQ）。总结 Gomory-Hu 树将原图的所有最小割信息编码成一棵树，通过递归划分和最大流计算逐步构建，是解决最小割查询的高效数据结构。