其中 $ t_i $ 和 $ w_i^{\text{Leg}} $ 为勒让德节点和权重。  

高斯-拉盖尔求积公式在带边界层函数积分中的变量替换技巧 题目描述 考虑计算半无穷区间积分： \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx, \] 其中被积函数 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 附近存在边界层（即函数在局部区域变化剧烈）。高斯-拉盖尔求积公式适用于权函数 \( e^{-x} \) 的积分，但当 \( f(x) \) 在边界层区域梯度极大时，直接使用该公式会因节点分布不足而导致精度下降。需通过变量替换将边界层特性融入积分变换，以提升求积公式的适应性。 解题过程 问题分析 高斯-拉盖尔公式的节点 \( x_ i \) 和权重 \( w_ i \) 由拉盖尔多项式的零点确定，节点在半无穷区间上分布稀疏，尤其在 \( x=0 \) 附近。 若 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处边界层厚度为 \( \delta \ll 1 \)，直接使用公式时，节点可能无法捕捉边界层内的剧烈变化，导致截断误差增大。 变量替换策略 引入伸缩变换 \( x = \delta t \)，将边界层厚度归一化。积分变为： \[ I = \delta \int_ {0}^{\infty} e^{-\delta t} f(\delta t) \, dt. \] 但此时权函数 \( e^{-\delta t} \) 已非标准拉盖尔权函数 \( e^{-t} \)，需进一步调整。考虑指数缩放变换 \( x = -\delta \ln(1 - s) \)，将区间映射到 \( [ 0, 1 ] \)： \[ I = \delta \int_ {0}^{1} (1 - s)^{\delta - 1} f(-\delta \ln(1 - s)) \, ds. \] 此变换将边界层压缩到 \( s \approx 0 \) 附近，但权函数 \( (1-s)^{\delta-1} \) 仍非标准形式。更实用的替换是 线性-对数混合变换 ： 令 \( x = -\delta \ln(1 - t) + \alpha t \)，其中 \( \alpha \) 为调节参数，控制边界层外的节点分布。该变换保持 \( x=0 \) 对应 \( t=0 \)，且当 \( t \to 1 \) 时 \( x \to \infty \)。 变换的求积公式重构 设变换函数为 \( x = g(t) \)，则积分化为： \[ I = \int_ {0}^{1} e^{-g(t)} f(g(t)) g'(t) \, dt. \] 选择 \( g(t) \) 使 \( g'(t) e^{-g(t)} \approx \text{常数} \)，以简化权函数。例如，若取 \( g(t) = -\ln(1 - t) \)，则 \( g'(t) e^{-g(t)} = 1 \)，积分变为： \[ I = \int_ {0}^{1} f(-\ln(1 - t)) \, dt. \] 此时可用标准高斯-勒让德公式计算，但需注意边界层对应 \( t \approx 0 \)。通过调节 \( g(t) \) 中的参数，可控制节点在边界层内的密度。 数值实现步骤 步骤1 ：根据边界层厚度 \( \delta \) 选择变换 \( x = g(t) = -\delta \ln(1 - t) \)。 步骤2 ：计算变换后的积分 \( I = \int_ {0}^{1} f(g(t)) \, dt \)。 步骤3 ：在 \( [ 0, 1 ] \) 上应用 \( n \) 点高斯-勒让德求积公式： \[ I \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i^{\text{Leg}} f(g(t_ i)), \] 其中 \( t_ i \) 和 \( w_ i^{\text{Leg}} \) 为勒让德节点和权重。 步骤4 ：若边界层外函数仍变化较快，可改用复合高斯公式，或在边界层内增加节点密度。 误差与收敛性 误差来源于两部分：高斯求积公式的截断误差，以及变量替换对函数光滑性的影响。 若变换后 \( f(g(t)) \) 在 \( [ 0,1 ] \) 上足够光滑，则误差以 \( O(n^{-k}) \) 速率下降（\( k \) 取决于光滑度）；否则需自适应调整变换参数。 总结 通过变量替换将半无穷积分映射到有限区间，并利用高斯-勒让德公式计算，可有效处理边界层问题。关键在于选择变换函数，使节点在边界层内密集分布，同时保持被积函数的光滑性。