排序算法之：IntroSort（内省排序）的混合策略与递归深度优化

题目描述：
实现内省排序（IntroSort）算法，这是一种混合排序算法，结合了快速排序、堆排序和插入排序的优点。其核心思想是：在递归深度较浅时使用快速排序保证平均性能，当递归深度超过阈值时切换为堆排序避免最坏情况，对小规模子数组使用插入排序优化常数因子。需要设计递归深度监控机制和自适应切换策略。

解题过程：

1. 算法框架设计

   • IntroSort 的主函数接收数组、起始索引、结束索引和最大允许递归深度
   • 最大递归深度通常设为 \(2 \log_2 n\)（n为数组长度）
   • 算法执行流程：
     1. 若子数组长度 ≤ 16（阈值可调），使用插入排序
     2. 若当前递归深度超过阈值，切换为堆排序
     3. 否则进行快速排序分区，递归处理左右子数组

2. 递归深度监控实现

   def introsort(arr, low, high, depth_limit):
       size = high - low + 1
   
       # 小数组使用插入排序
       if size <= 16:
           insertion_sort(arr, low, high)
           return
   
       # 递归深度超限使用堆排序
       if depth_limit == 0:
           heap_sort(arr, low, high)
           return
   
       # 快速排序分区
       pivot_index = partition(arr, low, high)
   
       # 递归处理左右子数组，深度减1
       introsort(arr, low, pivot_index-1, depth_limit-1)
       introsort(arr, pivot_index+1, high, depth_limit-1)
   

3. 分区函数优化（三数取中法）

   • 选择基准值时采用左端、中间、右端三个元素的中位数
   • 示例实现：

   def median_of_three(arr, low, high):
       mid = (low + high) // 2
       if arr[low] > arr[mid]:
           arr[low], arr[mid] = arr[mid], arr[low]
       if arr[low] > arr[high]:
           arr[low], arr[high] = arr[high], arr[low]
       if arr[mid] > arr[high]:
           arr[mid], arr[high] = arr[high], arr[mid]
       return mid
   

4. 插入排序优化小数组

   • 当子数组长度较小时，插入排序的常数因子优于递归算法
   • 实现时注意边界处理：

   def insertion_sort(arr, low, high):
       for i in range(low+1, high+1):
           key = arr[i]
           j = i-1
           while j >= low and arr[j] > key:
               arr[j+1] = arr[j]
               j -= 1
           arr[j+1] = key
   

5. 堆排序作为安全网

   • 当递归深度过深时，保证最坏时间复杂度为 \(O(n \log n)\)
   • 只需实现数组局部的堆排序：

   def heap_sort(arr, low, high):
       # 构建最大堆
       n = high - low + 1
       for i in range(n//2-1, -1, -1):
           heapify(arr, i, n, low)
   
       # 逐个提取元素
       for i in range(n-1, 0, -1):
           arr[low], arr[low+i] = arr[low+i], arr[low]
           heapify(arr, 0, i, low)
   

6. 完整算法集成

   • 初始化递归深度限制为 \(2 \lfloor \log_2 n \rfloor\)
   • 调用入口函数：

   def sort(arr):
       n = len(arr)
       depth_limit = 2 * (n.bit_length() - 1)
       introsort(arr, 0, n-1, depth_limit)
   

关键优化点：

1. 递归深度监控确保最坏情况性能
2. 三数取中法减少恶劣分区的概率
3. 小数组切换插入排序降低递归开销
4. 所有操作都是原地的，空间复杂度 \(O(\log n)\)

时间复杂度分析：

• 最佳/平均：\(O(n \log n)\)
• 最坏情况（通过堆排序避免）：\(O(n \log n)\)
• 成为C++ STL中std::sort的实现基础