线性动态规划：最长公共子序列的变种——带字符出现次数限制的最长公共子序列（进阶版：限制某些字符必须连续出现k次）

字数 1377 2025-11-27 06:55:50

线性动态规划：最长公共子序列的变种——带字符出现次数限制的最长公共子序列（进阶版：限制某些字符必须连续出现k次）

题目描述
给定两个字符串 s1 和 s2，以及一个整数 k（k ≥ 1）。要求找到 s1 和 s2 的最长公共子序列（LCS），但附加条件为：在公共子序列中，某些指定字符必须连续出现至少 k 次。例如，若指定字符为 'a' 且 k=3，则公共子序列中每个 'a' 必须连续出现至少 3 次（如 "aaa" 是合法的，但 "aa" 不合法）。你需要设计一个动态规划算法，计算满足此条件的最长公共子序列的长度。

解题过程

问题分析
- 基础 LCS 使用二维 DP 表 dp[i][j] 表示 s1[0:i] 和 s2[0:j] 的 LCS 长度。
- 新增限制：某些字符（如 'a'）在公共子序列中必须连续出现至少 k 次。这意味着在匹配字符时，需跟踪当前连续匹配的长度。
- 需要扩展状态：除了索引 (i, j)，还需记录当前正在匹配的字符 ch 和连续长度 cnt。
状态定义
定义四维 DP 数组：
dp[i][j][ch][cnt] 表示考虑 s1 的前 i 个字符和 s2 的前 j 个字符时，以字符 ch 结尾且连续出现 cnt 次的公共子序列的最大长度。
- 其中 ch 的取值范围为字符集（如小写字母），cnt 的范围为 1 到 k。
- 注意：当 cnt < k 时，子序列未满足连续条件；仅当 cnt >= k 时，当前字符段才合法。
状态转移
- Case 1: 不匹配当前字符
  跳过 s1[i] 或 s2[j]：
```
dp[i][j][ch][cnt] = max(dp[i-1][j][ch][cnt], dp[i][j-1][ch][cnt])  
```
- Case 2: 匹配字符（s1[i] == s2[j]）
  设当前字符 c = s1[i]：
  - 子case 2.1: 延续之前的连续字符
    若前一个状态也是字符 c 且连续长度为 cnt-1：
```
dp[i][j][c][cnt] = dp[i-1][j-1][c][cnt-1] + 1   (若 cnt > 1)  
```
  - 子case 2.2: 开始新的连续段
    若前一个状态是其他字符或 cnt=1：
```
dp[i][j][c][1] = max(dp[i][j][c][1], max_over_all_ch'{dp[i-1][j-1][ch'][cnt']} + 1)  
```
    其中 ch' 可任意，cnt' 需满足 cnt' >= k（因为新段开始时，前一段必须已合法）。
- 合法性检查：仅当 cnt >= k 时，当前状态才计入最终答案。
初始化与边界
- 初始状态：dp[0][j][ch][cnt] = 0 和 dp[i][0][ch][cnt] = 0（空字符串无公共子序列）。
- 单独处理 cnt=1 的起始情况。
复杂度优化
- 直接四维 DP 可能开销大（O(n²·|Σ|·k)）。可优化：
  - 将 (ch, cnt) 合并为二维状态，用哈希表或数组压缩。
  - 仅对指定字符（如 'a'）跟踪 cnt，其他字符视为普通 LCS。
示例演示
设 s1 = "aabaa", s2 = "aacaaa", k=3，指定字符为 'a'。
- 合法公共子序列需包含连续至少 3 个 'a'，如 "aaa"。
- 通过 DP 计算，最终找到最长满足条件的子序列为 "aaa"（长度 3）。

总结
本题通过扩展 LCS 的状态维度，加入字符连续出现的计数约束，解决了带限制的公共子序列问题。关键点在于状态转移时区分连续段的延续与新建，并确保只有满足连续条件的段才被采纳。

线性动态规划：最长公共子序列的变种——带字符出现次数限制的最长公共子序列（进阶版：限制某些字符必须连续出现k次）题目描述给定两个字符串 s1 和 s2 ，以及一个整数 k （k ≥ 1）。要求找到 s1 和 s2 的最长公共子序列（LCS），但附加条件为：在公共子序列中，某些指定字符必须连续出现至少 k 次。例如，若指定字符为 'a' 且 k=3，则公共子序列中每个 'a' 必须连续出现至少 3 次（如 "aaa" 是合法的，但 "aa" 不合法）。你需要设计一个动态规划算法，计算满足此条件的最长公共子序列的长度。解题过程问题分析基础 LCS 使用二维 DP 表 dp[i][j] 表示 s1[0:i] 和 s2[0:j] 的 LCS 长度。新增限制：某些字符（如 'a'）在公共子序列中必须连续出现至少 k 次。这意味着在匹配字符时，需跟踪当前连续匹配的长度。需要扩展状态：除了索引 (i, j) ，还需记录当前正在匹配的字符 ch 和连续长度 cnt 。状态定义定义四维 DP 数组： dp[i][j][ch][cnt] 表示考虑 s1 的前 i 个字符和 s2 的前 j 个字符时，以字符 ch 结尾且连续出现 cnt 次的公共子序列的最大长度。其中 ch 的取值范围为字符集（如小写字母）， cnt 的范围为 1 到 k 。注意：当 cnt < k 时，子序列未满足连续条件；仅当 cnt >= k 时，当前字符段才合法。状态转移 Case 1: 不匹配当前字符跳过 s1[i] 或 s2[j] ： Case 2: 匹配字符（s1[ i] == s2[ j]）设当前字符 c = s1[i] ：子case 2.1: 延续之前的连续字符若前一个状态也是字符 c 且连续长度为 cnt-1 ：子case 2.2: 开始新的连续段若前一个状态是其他字符或 cnt=1 ：其中 ch' 可任意， cnt' 需满足 cnt' >= k （因为新段开始时，前一段必须已合法）。合法性检查：仅当 cnt >= k 时，当前状态才计入最终答案。初始化与边界初始状态： dp[0][j][ch][cnt] = 0 和 dp[i][0][ch][cnt] = 0 （空字符串无公共子序列）。单独处理 cnt=1 的起始情况。复杂度优化直接四维 DP 可能开销大（O(n²·|Σ|·k)）。可优化：将 (ch, cnt) 合并为二维状态，用哈希表或数组压缩。仅对指定字符（如 'a'）跟踪 cnt ，其他字符视为普通 LCS。示例演示设 s1 = "aabaa" , s2 = "aacaaa" , k=3 ，指定字符为 'a'。合法公共子序列需包含连续至少 3 个 'a'，如 "aaa"。通过 DP 计算，最终找到最长满足条件的子序列为 "aaa"（长度 3）。总结本题通过扩展 LCS 的状态维度，加入字符连续出现的计数约束，解决了带限制的公共子序列问题。关键点在于状态转移时区分连续段的延续与新建，并确保只有满足连续条件的段才被采纳。