高斯-勒让德求积公式在带峰值函数积分中的正则化变换技巧
题目描述
考虑计算积分
\[I = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx, \]
其中被积函数 \(f(x)\) 在区间 \([-1, 1]\) 内存在一个或多个尖锐的峰值（例如高斯型函数 \(e^{-100x^2}\)）。若直接应用高斯-勒让德求积公式，由于峰值区域函数变化剧烈，需要大量节点才能捕捉峰值特征，计算效率低。本题要求通过正则化变换技巧，将原积分转化为更适合高斯-勒让德公式计算的形式，以提高精度并减少节点数。
解题过程
步骤1: 分析峰值函数的特性
峰值函数的典型特征是局部变化剧烈，但峰值区域外的函数值较小。例如，对 \(f(x) = e^{-100x^2}\)，峰值集中在 \(x=0\) 附近，宽度约 \(0.1\)。若直接使用 \(n\) 阶高斯-勒让德公式（节点均匀分布在 \([-1,1]\)），多数节点位于峰值区域外，导致积分贡献估计不准确。
关键思路：通过变量替换 \(x = g(t)\)，将节点密度在峰值区域加密，使变换后的函数更平滑。
步骤2: 设计正则化变换函数
引入单调可微的变换函数 \(x = g(t)\)，满足 \(g(-1) = -1\), \(g(1) = 1\)，且其导数 \(g'(t)\) 在峰值区域较大（即 \(t\) 的小变化对应 \(x\) 的大变化）。积分变为：
\[I = \int_{-1}^{1} f(g(t)) \, g'(t) \, dt. \]
选择 \(g(t)\) 的原则是：新被积函数 \(F(t) = f(g(t)) g'(t)\) 在 \(t\)-空间中更平滑。
常用变换：
- 代数变换：例如 \(x = \frac{t}{\sqrt{1 - \alpha t^2}}\)（\(\alpha\) 控制峰值位置）。
- 正弦变换：例如 \(x = \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right)\) 可用于对称峰值。
本例以 \(f(x) = e^{-100x^2}\) 为例，峰值在 \(x=0\)，选择变换：
\[x = \frac{t}{\sqrt{1 + \beta t^2}}, \]
其中 \(\beta > 0\) 为调节参数。当 \(\beta\) 较大时，\(t\) 靠近 0 时 \(x\) 变化缓慢（节点在 \(x\)-空间密集）。
步骤3: 计算变换后的积分表达式
对 \(x = g(t) = \frac{t}{\sqrt{1 + \beta t^2}}\)，求导得：
\[g'(t) = \frac{1}{(1 + \beta t^2)^{3/2}}. \]
代入原积分：
\[I = \int_{-1}^{1} e^{-100 \left( \frac{t}{\sqrt{1 + \beta t^2}} \right)^2} \cdot \frac{1}{(1 + \beta t^2)^{3/2}} \, dt. \]
化简被积函数：
\[F(t) = \frac{\exp\left( -\frac{100 t^2}{1 + \beta t^2} \right)}{(1 + \beta t^2)^{3/2}}. \]
步骤4: 选择参数 \(\beta\) 以优化函数平滑性
目标是通过 \(\beta\) 调节 \(F(t)\) 的性态。分析 \(F(t)\) 在 \(t=0\) 附近的泰勒展开：
- 指数部分：\(-\frac{100 t^2}{1 + \beta t^2} \approx -100 t^2 (1 - \beta t^2)\)。
- 分母部分：\((1 + \beta t^2)^{-3/2} \approx 1 - \frac{3}{2} \beta t^2\)。
整体近似：
\[F(t) \approx e^{-100 t^2} \left( 1 + \left(100\beta - \frac{3}{2}\beta\right) t^2 \right). \]
为使 \(F(t)\) 更接近高斯函数（平滑），可令 \(100\beta - \frac{3}{2}\beta = 0\)，解得 \(\beta = 0\)，但此时为恒等变换，无效。实际上需通过数值试验选择 \(\beta\)。经验表明，\(\beta \approx 10\) 可使 \(F(t)\) 的峰值宽度与 \(e^{-100 t^2}\) 相当，但节点在 \(x\)-空间更集中。
步骤5: 应用高斯-勒让德求积公式
对变换后的积分 \(I = \int_{-1}^{1} F(t) \, dt\)，直接应用 \(n\) 阶高斯-勒让德公式：
\[I \approx \sum_{i=1}^{n} w_i F(t_i), \]
其中 \(t_i\) 和 \(w_i\) 为 \([-1,1]\) 上的标准勒让德节点和权重。由于 \(F(t)\) 比 \(f(x)\) 更平滑，较少的节点（如 \(n=10\)) 即可达到较高精度。
步骤6: 误差分析与参数调优
- 误差来源：主要包括高斯公式的截断误差和变换引入的失真。
- 参数优化：通过比较不同 \(\beta\) 下的积分结果与参考值（如高精度数值积分），选择使误差最小的 \(\beta\)。对于 \(f(x) = e^{-100x^2}\)，参考值 \(I \approx 0.177245\)（精确值可通过无穷积分缩放得到）。
- 节点数选择：逐步增加 \(n\)，观察积分值收敛情况。通常 \(n=15\sim20\) 可满足 \(10^{-10}\) 精度。
总结
正则化变换通过变量替换将峰值函数的积分转化为平滑函数的积分，充分利用高斯-勒让德公式在平滑函数上的高精度特性。关键在于根据峰值位置和强度设计合适的变换函数，并通过参数调优平衡节点密度与函数平滑度。此方法可推广至多峰值或非对称峰值函数，只需调整 \(g(t)\) 的形式。