xxx 最大流问题（Goldberg-Rao 算法）
字数 2201 2025-11-27 02:03:12

xxx 最大流问题（Goldberg-Rao 算法）

题目描述
给定一个有向图 \(G = (V, E)\)，每条边 \(e \in E\) 有一个非负容量 \(c(e) \geq 0\)，以及源点 \(s\) 和汇点 \(t\)。Goldberg-Rao 算法用于计算从 \(s\) 到 \(t\) 的最大流。该算法结合了 Push-Relabel 的思想和容量缩放技术，通过动态调整流和标签（距离函数）来高效求解大规模稀疏图的最大流问题，时间复杂度为 \(O(\min\{V^{2/3}, E^{1/2}\} \cdot E \log(V^2/E) \log U)\)，其中 \(U\) 是最大边容量。

解题过程

  1. 基本概念回顾

    • 预流（Preflow）：允许顶点持有超额流（excess flow），即流入量大于流出量（除源点 \(s\) 和汇点 \(t\) 外）。
    • 距离标签（Distance Label）：每个顶点 \(v\) 维护一个整数标签 \(d(v)\)，表示到汇点 \(t\) 的估计距离。标签需满足 \(d(t) = 0\) 且对于残量边 \((u, v)\)，有 \(d(u) \leq d(v) + 1\)。
    • 残量图（Residual Graph）：边 \((u, v)\) 的残量容量为 \(c_f(u, v) = c(u, v) - f(u, v) + f(v, u)\)。

  2. 算法框架
    Goldberg-Rao 算法分为外层的容量缩放阶段和内层的 Push-Relabel 操作：

    • 容量缩放：将问题分解为多个子问题，每个子问题处理一个容量尺度 \(\Delta\)。初始时 \(\Delta = 2^{\lfloor \log_2 U \rfloor}\)，每阶段结束后将 \(\Delta\) 减半。
    • Δ-残量图：仅保留残量容量 \(\geq \Delta\) 的边，忽略容量较小的边。
    • Δ-最大流：在当前尺度 \(\Delta\) 下，通过 Push-Relabel 操作使流满足 Δ-近似最优性。

  3. 详细步骤
    步骤 1：初始化

    • 设置流 \(f(e) = 0\) 对所有边 \(e\)。
    • 初始化距离标签 \(d(v)\) 为 \(v\) 到 \(t\) 的 BFS 距离（在残量图中）。
    • 设置初始尺度 \(\Delta = 2^{\lfloor \log_2 U \rfloor}\)。

    步骤 2：容量缩放循环
    当 \(\Delta \geq 1\) 时重复以下过程：

    • 构建 Δ-残量图：删除所有残量容量 \(< \Delta\) 的边。
    • Δ-推送（Δ-Push）操作：
      1. 选择超额流 \(> 0\) 的顶点 \(u\)（称为活跃顶点）。
      2. 若存在边 \((u, v)\) 满足 \(d(u) = d(v) + 1\) 且残量容量 \(\geq \Delta\)，则沿该边推送 \(\min\{excess(u), c_f(u, v)\}\) 的流。
      3. 若无法推送，则执行 重标签（Relabel）：将 \(d(u)\) 更新为 \(\min\{d(v) + 1 \mid (u, v) \in E_f\}\)，其中 \(E_f\) 是残量边集。
    • 阶段结束条件：当所有顶点（除 \(s\) 和 \(t\)）的超额流为 0，或 \(\Delta\) 尺度下无法进一步推送时，将 \(\Delta \leftarrow \Delta / 2\)。

    步骤 3：终止与输出

    • 当 \(\Delta < 1\) 时，算法终止。此时流 \(f\) 即为最大流。

  4. 关键优化与注意事项

    • 单调性：距离标签 \(d(v)\) 在重标签过程中严格递增，确保算法终止。
    • 复杂度分析：每个尺度 \(\Delta\) 的推送次数受 \(O(V^2)\) 限制，总尺度数为 \(O(\log U)\)，结合动态树（Dynamic Trees）可进一步优化。
    • 特殊边处理：当 \(\Delta\) 较小时，算法退化为标准 Push-Relabel，但通过尺度分解避免了低效操作。

  5. 实例演示
    考虑一个简单图：顶点集 \(V = \{s, a, b, t\}\)，边容量 \(c(s, a) = 3, c(s, b) = 2, c(a, b) = 1, c(a, t) = 2, c(b, t) = 3\)。

    • 初始 \(\Delta = 4\)（因最大容量为 3，实际取 \(\Delta = 2\)）。
    • 在 \(\Delta = 2\) 阶段：推送流 \(s \rightarrow a \rightarrow t\) 和 \(s \rightarrow b \rightarrow t\)，得到流值 4。
    • 在 \(\Delta = 1\) 阶段：调整流利用边 \(a \rightarrow b\)，最终最大流为 5。

通过以上步骤，Goldberg-Rao 算法以高效的方式解决了最大流问题，尤其适用于稀疏大图。

xxx 最大流问题（Goldberg-Rao 算法） 题目描述 给定一个有向图 \( G = (V, E) \)，每条边 \( e \in E \) 有一个非负容量 \( c(e) \geq 0 \)，以及源点 \( s \) 和汇点 \( t \)。Goldberg-Rao 算法用于计算从 \( s \) 到 \( t \) 的最大流。该算法结合了 Push-Relabel 的思想和容量缩放技术，通过动态调整流和标签（距离函数）来高效求解大规模稀疏图的最大流问题，时间复杂度为 \( O(\min\{V^{2/3}, E^{1/2}\} \cdot E \log(V^2/E) \log U) \)，其中 \( U \) 是最大边容量。 解题过程 基本概念回顾 预流（Preflow） ：允许顶点持有超额流（excess flow），即流入量大于流出量（除源点 \( s \) 和汇点 \( t \) 外）。 距离标签（Distance Label） ：每个顶点 \( v \) 维护一个整数标签 \( d(v) \)，表示到汇点 \( t \) 的估计距离。标签需满足 \( d(t) = 0 \) 且对于残量边 \( (u, v) \)，有 \( d(u) \leq d(v) + 1 \)。 残量图（Residual Graph） ：边 \( (u, v) \) 的残量容量为 \( c_ f(u, v) = c(u, v) - f(u, v) + f(v, u) \)。 算法框架 Goldberg-Rao 算法分为外层的容量缩放阶段和内层的 Push-Relabel 操作： 容量缩放 ：将问题分解为多个子问题，每个子问题处理一个容量尺度 \( \Delta \)。初始时 \( \Delta = 2^{\lfloor \log_ 2 U \rfloor} \)，每阶段结束后将 \( \Delta \) 减半。 Δ-残量图 ：仅保留残量容量 \( \geq \Delta \) 的边，忽略容量较小的边。 Δ-最大流 ：在当前尺度 \( \Delta \) 下，通过 Push-Relabel 操作使流满足 Δ-近似最优性。 详细步骤 步骤 1：初始化 设置流 \( f(e) = 0 \) 对所有边 \( e \)。 初始化距离标签 \( d(v) \) 为 \( v \) 到 \( t \) 的 BFS 距离（在残量图中）。 设置初始尺度 \( \Delta = 2^{\lfloor \log_ 2 U \rfloor} \)。 步骤 2：容量缩放循环 当 \( \Delta \geq 1 \) 时重复以下过程： 构建 Δ-残量图 ：删除所有残量容量 \( < \Delta \) 的边。 Δ-推送（Δ-Push）操作 ： 选择超额流 \( > 0 \) 的顶点 \( u \)（称为活跃顶点）。 若存在边 \( (u, v) \) 满足 \( d(u) = d(v) + 1 \) 且残量容量 \( \geq \Delta \)，则沿该边推送 \( \min\{excess(u), c_ f(u, v)\} \) 的流。 若无法推送，则执行 重标签（Relabel） ：将 \( d(u) \) 更新为 \( \min\{d(v) + 1 \mid (u, v) \in E_ f\} \)，其中 \( E_ f \) 是残量边集。 阶段结束条件 ：当所有顶点（除 \( s \) 和 \( t \)）的超额流为 0，或 \( \Delta \) 尺度下无法进一步推送时，将 \( \Delta \leftarrow \Delta / 2 \)。 步骤 3：终止与输出 当 \( \Delta < 1 \) 时，算法终止。此时流 \( f \) 即为最大流。 关键优化与注意事项 单调性 ：距离标签 \( d(v) \) 在重标签过程中严格递增，确保算法终止。 复杂度分析 ：每个尺度 \( \Delta \) 的推送次数受 \( O(V^2) \) 限制，总尺度数为 \( O(\log U) \)，结合动态树（Dynamic Trees）可进一步优化。 特殊边处理 ：当 \( \Delta \) 较小时，算法退化为标准 Push-Relabel，但通过尺度分解避免了低效操作。 实例演示 考虑一个简单图：顶点集 \( V = \{s, a, b, t\} \)，边容量 \( c(s, a) = 3, c(s, b) = 2, c(a, b) = 1, c(a, t) = 2, c(b, t) = 3 \)。 初始 \( \Delta = 4 \)（因最大容量为 3，实际取 \( \Delta = 2 \)）。 在 \( \Delta = 2 \) 阶段：推送流 \( s \rightarrow a \rightarrow t \) 和 \( s \rightarrow b \rightarrow t \)，得到流值 4。 在 \( \Delta = 1 \) 阶段：调整流利用边 \( a \rightarrow b \)，最终最大流为 5。 通过以上步骤，Goldberg-Rao 算法以高效的方式解决了最大流问题，尤其适用于稀疏大图。