分块矩阵的预处理FGMRES算法解非对称多重右端项线性方程组
字数 2402 2025-11-27 00:43:01

分块矩阵的预处理FGMRES算法解非对称多重右端项线性方程组

题目描述
考虑求解一组具有相同系数矩阵但不同右端项的非对称线性方程组：

\[A X = B \]

其中 \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 是一个大型稀疏非对称矩阵，\(X, B \in \mathbb{R}^{n \times m}\) 是矩阵形式的多重右端项（即 \(m\) 个线性方程组 \(A x^{(i)} = b^{(i)}\)，\(i = 1, \dots, m\)）。直接对每个右端项独立调用迭代法（如GMRES）计算成本高。分块矩阵的预处理灵活广义最小残差法（Block Preconditioned FGMRES）通过同时处理多重右端项，利用Krylov子空间的重叠性减少计算量。FGMRES允许预处理子随迭代变化，适用于分块预处理或右端项相关的自适应预处理。

解题过程

  1. 问题转化与分块Krylov子空间
    将多重右端项方程组写为矩阵形式 \(A X = B\)。定义分块残差矩阵 \(R_0 = B - A X_0\)，其中 \(X_0\) 是初始猜测（如零矩阵）。分块Krylov子空间为：

\[ \mathcal{K}_k(A, R_0) = \operatorname{span}\{R_0, A R_0, A^2 R_0, \dots, A^{k-1} R_0\} \]

目标是寻找近似解 \(X_k \in X_0 + \mathcal{K}_k(A, R_0)\) 使残差范数最小。

  1. 分块Arnoldi过程生成正交基
    • 步骤1：对残差矩阵 \(R_0\) 进行经济型QR分解：

\[ R_0 = V_1 \Sigma_1, \quad V_1 \in \mathbb{R}^{n \times m}, \quad \Sigma_1 \in \mathbb{R}^{m \times m} \]

 其中 $ V_1 $ 的列正交（即 $ V_1^\top V_1 = I_m $），$ \Sigma_1 $ 是上三角矩阵。
  • 步骤2：对于 \(j = 1, 2, \dots, k\)：
    1. 计算矩阵块 \(W_j = A V_j\)（\(V_j \in \mathbb{R}^{n \times m}\) 是当前正交基块）。
    2. 应用预处理子（可能随 \(j\) 变化）：

\[ Z_j = M_j^{-1} V_j \]

    其中 $ M_j^{-1} $ 是第 $ j $ 步的预处理算子，FGMRES允许 $ M_j $ 依赖迭代步。  
 3. 对 $ W_j $ 进行正交化（使用块Gram-Schmidt）：  
    对于 $ i = 1 $ 到 $ j $：

\[ H_{i,j} = V_i^\top W_j, \quad W_j := W_j - V_i H_{i,j} \]

    其中 $ H_{i,j} \in \mathbb{R}^{m \times m} $ 是块Hessenberg矩阵的子块。  
 4. 对 $ W_j $ 进行经济型QR分解：

\[ W_j = V_{j+1} H_{j+1,j}, \quad V_{j+1}^\top V_{j+1} = I_m \]

    记录 $ H_{j+1,j} \in \mathbb{R}^{m \times m} $。
  • 结果：得到正交基块序列 \(V_1, V_2, \dots, V_{k+1}\) 和块上Hessenberg矩阵 \(\bar{H}_k \in \mathbb{R}^{(k+1)m \times km}\)。
  1. FGMRES的最小二乘问题求解
    近似解可写为 \(X_k = X_0 + Z_k Y_k\)，其中 \(Z_k = [Z_1, \dots, Z_k]\) 由预处理后的基块组成，\(Y_k \in \mathbb{R}^{km \times m}\) 通过最小化残差范数求解：

\[ \min_{Y_k} \| B - A (X_0 + Z_k Y_k) \|_F \]

利用Arnoldi过程关系 \(A V_k = V_{k+1} \bar{H}_k\) 和 \(V_1 = R_0 \Sigma_1^{-1}\)，问题转化为：

\[ \min_{Y_k} \| \Sigma_1 e_1 - \bar{H}_k Y_k \|_F \]

其中 \(e_1 \in \mathbb{R}^{km \times m}\) 是前 \(m\) 列为单位矩阵的块向量。使用块QR分解或Givens旋转求解该最小二乘问题。

  1. 算法收敛与重启策略

    • 若残差 \(\| R_k \|_F\) 小于容忍误差，则停止迭代。
    • 若未收敛且达到最大子空间维数 \(k\)，执行隐式重启：保留当前解 \(X_k\)，用最新残差 \(R_k\) 重新初始化Arnoldi过程，避免子空间过大导致存储成本增加。

  2. 预处理子设计

    • 固定预处理子：如不完全LU分解（ILU）或分块对角预处理。
    • 可变预处理子：针对不同右端项自适应调整，例如基于残差范数的条件选择不同预处理策略，提升对多重右端项的整体收敛性。

关键点

  • 分块Krylov子空间同时处理多重右端项，减少矩阵-向量乘积次数。
  • FGMRES的灵活性允许预处理子随迭代变化，适应分块预处理或右端项特异性。
  • 最小二乘问题通过块Hessenberg矩阵求解，确保残差单调下降。
分块矩阵的预处理FGMRES算法解非对称多重右端项线性方程组 题目描述 考虑求解一组具有相同系数矩阵但不同右端项的非对称线性方程组： \[ A X = B \] 其中 \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) 是一个大型稀疏非对称矩阵，\( X, B \in \mathbb{R}^{n \times m} \) 是矩阵形式的多重右端项（即 \( m \) 个线性方程组 \( A x^{(i)} = b^{(i)} \)，\( i = 1, \dots, m \)）。直接对每个右端项独立调用迭代法（如GMRES）计算成本高。分块矩阵的预处理灵活广义最小残差法（Block Preconditioned FGMRES）通过同时处理多重右端项，利用Krylov子空间的重叠性减少计算量。FGMRES允许预处理子随迭代变化，适用于分块预处理或右端项相关的自适应预处理。 解题过程 问题转化与分块Krylov子空间 将多重右端项方程组写为矩阵形式 \( A X = B \)。定义分块残差矩阵 \( R_ 0 = B - A X_ 0 \)，其中 \( X_ 0 \) 是初始猜测（如零矩阵）。分块Krylov子空间为： \[ \mathcal{K}_ k(A, R_ 0) = \operatorname{span}\{R_ 0, A R_ 0, A^2 R_ 0, \dots, A^{k-1} R_ 0\} \] 目标是寻找近似解 \( X_ k \in X_ 0 + \mathcal{K}_ k(A, R_ 0) \) 使残差范数最小。 分块Arnoldi过程生成正交基 步骤1 ：对残差矩阵 \( R_ 0 \) 进行经济型QR分解： \[ R_ 0 = V_ 1 \Sigma_ 1, \quad V_ 1 \in \mathbb{R}^{n \times m}, \quad \Sigma_ 1 \in \mathbb{R}^{m \times m} \] 其中 \( V_ 1 \) 的列正交（即 \( V_ 1^\top V_ 1 = I_ m \)），\( \Sigma_ 1 \) 是上三角矩阵。 步骤2 ：对于 \( j = 1, 2, \dots, k \)： 计算矩阵块 \( W_ j = A V_ j \)（\( V_ j \in \mathbb{R}^{n \times m} \) 是当前正交基块）。 应用预处理子（可能随 \( j \) 变化）： \[ Z_ j = M_ j^{-1} V_ j \] 其中 \( M_ j^{-1} \) 是第 \( j \) 步的预处理算子，FGMRES允许 \( M_ j \) 依赖迭代步。 对 \( W_ j \) 进行正交化（使用块Gram-Schmidt）： 对于 \( i = 1 \) 到 \( j \)： \[ H_ {i,j} = V_ i^\top W_ j, \quad W_ j := W_ j - V_ i H_ {i,j} \] 其中 \( H_ {i,j} \in \mathbb{R}^{m \times m} \) 是块Hessenberg矩阵的子块。 对 \( W_ j \) 进行经济型QR分解： \[ W_ j = V_ {j+1} H_ {j+1,j}, \quad V_ {j+1}^\top V_ {j+1} = I_ m \] 记录 \( H_ {j+1,j} \in \mathbb{R}^{m \times m} \)。 结果 ：得到正交基块序列 \( V_ 1, V_ 2, \dots, V_ {k+1} \) 和块上Hessenberg矩阵 \( \bar{H}_ k \in \mathbb{R}^{(k+1)m \times km} \)。 FGMRES的最小二乘问题求解 近似解可写为 \( X_ k = X_ 0 + Z_ k Y_ k \)，其中 \( Z_ k = [ Z_ 1, \dots, Z_ k] \) 由预处理后的基块组成，\( Y_ k \in \mathbb{R}^{km \times m} \) 通过最小化残差范数求解： \[ \min_ {Y_ k} \| B - A (X_ 0 + Z_ k Y_ k) \| F \] 利用Arnoldi过程关系 \( A V_ k = V {k+1} \bar{H} k \) 和 \( V_ 1 = R_ 0 \Sigma_ 1^{-1} \)，问题转化为： \[ \min {Y_ k} \| \Sigma_ 1 e_ 1 - \bar{H}_ k Y_ k \|_ F \] 其中 \( e_ 1 \in \mathbb{R}^{km \times m} \) 是前 \( m \) 列为单位矩阵的块向量。使用块QR分解或Givens旋转求解该最小二乘问题。 算法收敛与重启策略 若残差 \( \| R_ k \|_ F \) 小于容忍误差，则停止迭代。 若未收敛且达到最大子空间维数 \( k \)，执行隐式重启：保留当前解 \( X_ k \)，用最新残差 \( R_ k \) 重新初始化Arnoldi过程，避免子空间过大导致存储成本增加。 预处理子设计 固定预处理子：如不完全LU分解（ILU）或分块对角预处理。 可变预处理子：针对不同右端项自适应调整，例如基于残差范数的条件选择不同预处理策略，提升对多重右端项的整体收敛性。 关键点 分块Krylov子空间同时处理多重右端项，减少矩阵-向量乘积次数。 FGMRES的灵活性允许预处理子随迭代变化，适应分块预处理或右端项特异性。 最小二乘问题通过块Hessenberg矩阵求解，确保残差单调下降。