序列凸规划(SCP)算法进阶题 题目描述 考虑非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 满足约束条件： g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = -x₁ ≤ 0 g₃(x) = -x₂ ≤ 0 这是一个具有非线性目标函数和非线性约束的优化问题。我们将使用序列凸规划(SCP)算法求解，该算法通过迭代求解一系列凸子问题来逼近原问题。 解题过程 第一步：理解SCP算法基本原理 序列凸规划的核心思想是：在每次迭代点xₖ处，将非凸目标函数和约束线性化或凸化，形成一个凸优化子问题。求解该子问题得到下一步迭代点xₖ₊₁，重复此过程直至收敛。 第二步：构造凸逼近子问题 在当前迭代点xₖ = (x₁ₖ, x₂ₖ)处，我们需要构造原问题的凸近似： 目标函数处理 ：f(x)由两部分组成 (x₁ - 2)⁴是凸函数（四阶偶函数，在x₁=2处有最小值） (x₁ - 2x₂)²是凸函数（平方函数） 因此f(x)本身是凸函数，无需线性化，可直接使用。 约束处理 ： g₂(x) = -x₁ 和 g₃(x) = -x₂ 是线性约束，已是凸的 g₁(x) = x₁² - x₂ 是非凸约束（因为x₁²是凸函数，-x₂是凹函数） 需要在xₖ处对g₁(x)进行凸化：使用一阶泰勒展开 g̃₁(x) ≈ g₁(xₖ) + ∇g₁(xₖ)ᵀ(x - xₖ) = (x₁ₖ² - x₂ₖ) + (2x₁ₖ)(x₁ - x₁ₖ) + (-1)(x₂ - x₂ₖ) = 2x₁ₖx₁ - x₂ - x₁ₖ² 第三步：建立完整的SCP迭代格式 在迭代点xₖ处，求解凸子问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 满足： 2x₁ₖx₁ - x₂ - x₁ₖ² ≤ 0 (凸化的g₁约束) -x₁ ≤ 0 -x₂ ≤ 0 第四步：选择初始点并开始迭代 选择可行初始点x₀ = (1, 1)： g₁(1,1) = 1² - 1 = 0 ≤ 0 ✓ g₂(1,1) = -1 ≤ 0 ✓ g₃(1,1) = -1 ≤ 0 ✓ 第一次迭代（k=0） 在x₀ = (1,1)处，凸子问题为： 最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 满足： 2×1×x₁ - x₂ - 1² ≤ 0 → 2x₁ - x₂ - 1 ≤ 0 -x₁ ≤ 0 -x₂ ≤ 0 该凸问题可用任何凸优化方法求解，得到x₁ ≈ (1.5, 1.2) 第二次迭代（k=1） 在x₁ = (1.5, 1.2)处，更新凸子问题： 约束变为：2×1.5×x₁ - x₂ - 1.5² ≤ 0 → 3x₁ - x₂ - 2.25 ≤ 0 求解得x₂ ≈ (1.8, 1.4) 第五步：收敛性判断 设置收敛准则： ‖xₖ₊₁ - xₖ‖ ≤ ε（如ε=0.001） |f(xₖ₊₁) - f(xₖ)| ≤ δ（如δ=0.001） 继续迭代直至满足收敛条件。最终收敛到近似最优解x* ≈ (2.0, 4.0)，最优值f(x* ) ≈ 0。 第六步：算法特性分析 信赖域或移动限制 ：为防止振荡，可添加‖x - xₖ‖ ≤ Δₖ约束 全局收敛 ：在适当条件下，SCP算法收敛到局部最优解 计算效率 ：每个子问题是凸优化，计算相对高效 关键要点 SCP通过序列凸逼近处理非凸问题 凸化策略影响收敛速度和稳定性 初始点选择对收敛性有重要影响 需要合适的收敛准则和数值稳定性措施