龙贝格积分法在带振荡衰减函数积分中的正则化变换技巧
字数 2195 2025-11-26 22:39:13

龙贝格积分法在带振荡衰减函数积分中的正则化变换技巧

题目描述
计算积分

\[I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin(10x) \, dx \]

该被积函数在无穷区间上振荡衰减，直接数值积分可能因截断误差和振荡性导致收敛困难。需结合龙贝格积分法（基于Richardson外推的加速技术）与正则化变换（消除振荡性或奇异性）以提高精度。

解题过程

1. 问题分析

  • 振荡衰减特性：被积函数 \(f(x) = e^{-x} \sin(10x)\) 在 \(x \to \infty\) 时由指数项 \(e^{-x}\) 衰减，但高频振荡项 \(\sin(10x)\) 导致积分收敛缓慢，需大量节点才能捕捉振荡细节。
  • 龙贝格积分的局限性：龙贝格法基于等距节点的复合梯形公式外推，若直接应用于无穷区间，需截断为有限区间 \([0, L]\)，引入截断误差 \(\int_{L}^{\infty} f(x) dx\)。
  • 目标：通过变量替换（正则化变换）将无穷区间映射到有限区间，同时弱化振荡性，再应用龙贝格积分。

2. 正则化变换设计

  • 变换选择：采用指数变换 \(x = -\ln(t)\)，将区间 \([0, \infty)\) 映射到 \([1, 0]\)（需调整方向）。
    • 令 \(t = e^{-x}\)，则 \(x = -\ln t\)，\(dx = -\frac{1}{t} dt\)。
    • 积分变为：

\[ I = \int_{1}^{0} e^{-(-\ln t)} \sin(10(-\ln t)) \left(-\frac{1}{t}\right) dt = \int_{0}^{1} t \cdot \sin(-10\ln t) \cdot \frac{1}{t} dt \]

简化后：

\[ I = \int_{0}^{1} \sin(-10\ln t) \, dt = \int_{0}^{1} \sin(10\ln(1/t)) \, dt \]

利用 $ \sin(-\theta) = -\sin(\theta) $，最终：

\[ I = -\int_{0}^{1} \sin(10\ln t) \, dt \]

  • 效果分析：
    • 振荡性由 \(\sin(10x)\) 变为 \(\sin(10\ln t)\)，在 \(t \to 0^+\) 时（对应 \(x \to \infty\)），\(\ln t \to -\infty\)，振荡频率趋于无穷，但被积分区间压缩到 \(t \in [0,1]\)，龙贝格法在有限区间上更易处理。
    • 奇异性检查：被积函数 \(g(t) = -\sin(10\ln t)\) 在 \(t=0\) 无界（振荡发散），但积分收敛（类似Dirichlet积分）。需在龙贝格法中避免直接计算 \(t=0\) 的点。

3. 龙贝格积分实现

  • 算法步骤：
    1. 区间处理：直接对 \(t \in [0,1]\) 积分时，在 \(t=0\) 处设置偏移，如从 \(t=\epsilon\) 开始（\(\epsilon = 10^{-6}\)），或使用自适应划分在 \(t \to 0\) 区域加密节点。
    2. 龙贝格表示：
      • 令 \(R(k, 0)\) 为复合梯形公式在 \(2^k\) 子区间上的结果（节点数 \(2^k + 1\)）。
      • 外推公式：

\[ R(k, m) = R(k, m-1) + \frac{R(k, m-1) - R(k-1, m-1)}{4^m - 1} \]

  1. 终止条件：当 \(|R(k, m) - R(k-1, m-1)| < \text{tol}\) 时停止。
  • 具体计算（简化示例）：
    • 初始区间 \([ \epsilon, 1 ]\)，取 \(\epsilon = 10^{-6}\)。
    • \(R(0, 0)\)：梯形公式仅端点 \(t=\epsilon\) 和 \(t=1\)，结果较差。
    • 逐次加密：每步将区间二分，计算新节点函数值（注意 \(g(t) = -\sin(10\ln t)\) 在 \(t \to 0\) 需谨慎处理）。
    • 外推加速：利用Richardson外推消除误差主项，快速收敛。

4. 误差与优化

  • 截断误差控制：原无穷积分通过变换精确转为有限积分，无截断误差。
  • 振荡处理：变换后振荡频率在 \(t=0\) 附近增高，但龙贝格法通过局部加密可适应（如优先二分靠近 \(t=0\) 的区间）。
  • 精度验证：解析解为 \(I = \frac{10}{1^2 + 10^2} = \frac{10}{101} \approx 0.0990099\)，比较数值结果验证误差。

5. 总结

  • 关键技巧：指数变换将无穷区间映射到有限区间，同时保持积分收敛性。
  • 龙贝格优势：外推机制高效提升精度，尤其适合光滑函数；变换后虽在端点振荡，但通过区间处理可缓解。
  • 适用场景：适用于振荡衰减型无穷积分，如 \(\int_{0}^{\infty} e^{-ax} \sin(bx) dx\) 或类似组合。
龙贝格积分法在带振荡衰减函数积分中的正则化变换技巧 题目描述 计算积分 \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \sin(10x) \, dx \] 该被积函数在无穷区间上振荡衰减，直接数值积分可能因截断误差和振荡性导致收敛困难。需结合龙贝格积分法（基于Richardson外推的加速技术）与正则化变换（消除振荡性或奇异性）以提高精度。 解题过程 1. 问题分析 振荡衰减特性 ：被积函数 \( f(x) = e^{-x} \sin(10x) \) 在 \( x \to \infty \) 时由指数项 \( e^{-x} \) 衰减，但高频振荡项 \( \sin(10x) \) 导致积分收敛缓慢，需大量节点才能捕捉振荡细节。 龙贝格积分的局限性 ：龙贝格法基于等距节点的复合梯形公式外推，若直接应用于无穷区间，需截断为有限区间 \([ 0, L]\)，引入截断误差 \( \int_ {L}^{\infty} f(x) dx \)。 目标 ：通过变量替换（正则化变换）将无穷区间映射到有限区间，同时弱化振荡性，再应用龙贝格积分。 2. 正则化变换设计 变换选择 ：采用指数变换 \( x = -\ln(t) \)，将区间 \( [ 0, \infty)\) 映射到 \([ 1, 0 ]\)（需调整方向）。 令 \( t = e^{-x} \)，则 \( x = -\ln t \)，\( dx = -\frac{1}{t} dt \)。 积分变为： \[ I = \int_ {1}^{0} e^{-(-\ln t)} \sin(10(-\ln t)) \left(-\frac{1}{t}\right) dt = \int_ {0}^{1} t \cdot \sin(-10\ln t) \cdot \frac{1}{t} dt \] 简化后： \[ I = \int_ {0}^{1} \sin(-10\ln t) \, dt = \int_ {0}^{1} \sin(10\ln(1/t)) \, dt \] 利用 \( \sin(-\theta) = -\sin(\theta) \)，最终： \[ I = -\int_ {0}^{1} \sin(10\ln t) \, dt \] 效果分析 ： 振荡性由 \( \sin(10x) \) 变为 \( \sin(10\ln t) \)，在 \( t \to 0^+ \) 时（对应 \( x \to \infty \)），\( \ln t \to -\infty \)，振荡频率趋于无穷，但被积分区间压缩到 \( t \in [ 0,1 ] \)，龙贝格法在有限区间上更易处理。 奇异性检查：被积函数 \( g(t) = -\sin(10\ln t) \) 在 \( t=0 \) 无界（振荡发散），但积分收敛（类似Dirichlet积分）。需在龙贝格法中避免直接计算 \( t=0 \) 的点。 3. 龙贝格积分实现 算法步骤 ： 区间处理 ：直接对 \( t \in [ 0,1 ] \) 积分时，在 \( t=0 \) 处设置偏移，如从 \( t=\epsilon \) 开始（\( \epsilon = 10^{-6} \)），或使用自适应划分在 \( t \to 0 \) 区域加密节点。 龙贝格表示 ： 令 \( R(k, 0) \) 为复合梯形公式在 \( 2^k \) 子区间上的结果（节点数 \( 2^k + 1 \)）。 外推公式： \[ R(k, m) = R(k, m-1) + \frac{R(k, m-1) - R(k-1, m-1)}{4^m - 1} \] 终止条件 ：当 \( |R(k, m) - R(k-1, m-1)| < \text{tol} \) 时停止。 具体计算 （简化示例）： 初始区间 \([ \epsilon, 1 ]\)，取 \( \epsilon = 10^{-6} \)。 \( R(0, 0) \)：梯形公式仅端点 \( t=\epsilon \) 和 \( t=1 \)，结果较差。 逐次加密：每步将区间二分，计算新节点函数值（注意 \( g(t) = -\sin(10\ln t) \) 在 \( t \to 0 \) 需谨慎处理）。 外推加速：利用Richardson外推消除误差主项，快速收敛。 4. 误差与优化 截断误差控制 ：原无穷积分通过变换精确转为有限积分，无截断误差。 振荡处理 ：变换后振荡频率在 \( t=0 \) 附近增高，但龙贝格法通过局部加密可适应（如优先二分靠近 \( t=0 \) 的区间）。 精度验证 ：解析解为 \( I = \frac{10}{1^2 + 10^2} = \frac{10}{101} \approx 0.0990099 \)，比较数值结果验证误差。 5. 总结 关键技巧 ：指数变换将无穷区间映射到有限区间，同时保持积分收敛性。 龙贝格优势 ：外推机制高效提升精度，尤其适合光滑函数；变换后虽在端点振荡，但通过区间处理可缓解。 适用场景 ：适用于振荡衰减型无穷积分，如 \( \int_ {0}^{\infty} e^{-ax} \sin(bx) dx \) 或类似组合。