非线性规划中的外点罚函数法进阶题 问题描述 考虑非线性规划问题： min f(x) s.t. gᵢ(x) ≤ 0, i=1,…,m hⱼ(x) = 0, j=1,…,p 其中 f, gᵢ, hⱼ 是连续可微函数。外点罚函数法通过构造一个无约束优化问题，将约束违反量以罚函数形式加入目标函数，并在迭代中逐步增大罚参数，迫使解趋向可行域。本题要求： 设计外点罚函数，包含等式与不等式约束； 分析罚参数增大时解序列的收敛性； 给出数值求解步骤，并说明如何控制罚参数的更新策略。 解题过程 1. 外点罚函数构造 外点罚函数的基本思想是将约束违反程度作为惩罚项加到原目标函数中，形成辅助函数： P(x,σ) = f(x) + σ⋅φ(x) 其中 σ 是罚参数（σ > 0），φ(x) 是惩罚项，通常取为： φ(x) = ∑ᵢ[ max(0, gᵢ(x))]² + ∑ⱼ[ hⱼ(x) ]² 第一项对不等式约束：当 gᵢ(x) ≤ 0 时无惩罚，当 gᵢ(x) > 0 时惩罚与违反量的平方成正比； 第二项对等式约束：直接惩罚 hⱼ(x) 与零的偏差平方。 随着 σ 增大，不可行点的惩罚会急剧增加，从而迫使最优解向可行域靠近。 2. 收敛性分析 记 x* (σ) 为 min P(x,σ) 的最优解。当 σ → ∞ 时，外点罚函数法具有以下性质： 若原问题存在可行解，则 {x* (σ)} 的任一极限点都是原问题的全局最优解； 若原问题为凸规划且满足 Slater 条件，则 x* (σ) 收敛到唯一最优解； 对于非凸问题，可能收敛到局部最优解，且收敛速度受 σ 增大方式影响。 关键点：罚参数增大时，P(x,σ) 的极小点序列会逐渐逼近可行域边界，并在极限处满足约束。 3. 数值求解步骤 步骤 1：初始化 选择初始罚参数 σ₀ > 0（例如 σ₀=1）、增长系数 β > 1（例如 β=10）、初始点 x₀、收敛容差 ε > 0。 步骤 2：无约束优化子问题 固定 σₖ，求解无约束问题：xₖ ≈ argmin P(x,σₖ) = f(x) + σₖ⋅[ ∑ᵢ(max(0,gᵢ(x)))² + ∑ⱼ(hⱼ(x))² ] 使用数值优化方法（如拟牛顿法、梯度下降）求解，以 xₖ₋₁ 为初始点。 步骤 3：约束违反度检查 计算约束违反量：V(xₖ) = ∑ᵢ[ max(0,gᵢ(xₖ)) ] + ∑ⱼ|hⱼ(xₖ)| 若 V(xₖ)  < ε，则停止迭代，输出 xₖ 作为近似解；否则继续。 步骤 4：更新罚参数 令 σₖ₊₁ = β⋅σₖ，增大惩罚强度。 注意：β 不宜过大，否则子问题难以求解；通常 β∈[ 5,20 ]。 步骤 5：迭代 令 k ← k+1，以 xₖ 为初始点返回步骤 2。 4. 参数更新策略的细节 自适应更新 ：若当前 V(xₖ) 比上一次下降不明显，可适当减小 β 避免数值困难； 子问题精度 ：初始 σ 较小时，无约束优化可粗糙些；随 σ 增大，需提高子问题求解精度； 可行性保持 ：若某次迭代 xₖ 完全可行（V(xₖ)=0），可提前终止。 总结 外点罚函数法通过序列无约束优化逼近原问题，关键是通过罚参数σ的增大迫使解趋于可行。该方法允许从不可行域开始，但当σ很大时子问题可能病态，需配合稳定的无约束优化器使用。