非线性规划中的序列线性化方法(SLM)进阶题 我将为您讲解序列线性化方法(SLM)在非线性规划中的进阶应用。这个方法特别适合处理复杂的非线性约束优化问题。 题目描述 考虑非线性规划问题： 最小化：f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 约束条件： g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = -x₁ ≤ 0 g₃(x) = -x₂ ≤ 0 这是一个具有非线性目标函数和非线性约束的优化问题，我们需要找到满足所有约束的最小值点。 解题过程详解 第一步：理解序列线性化方法的基本思想 序列线性化方法的核心思想是：在每次迭代中，在当前点xₖ处对目标函数和约束函数进行线性化（一阶泰勒展开），将原非线性问题转化为线性规划子问题，通过求解这个线性规划子问题获得搜索方向，然后沿该方向进行线搜索。 第二步：构建线性化子问题 在当前迭代点xₖ处，我们对目标函数和约束函数进行线性化： 目标函数线性化： f(x) ≈ f(xₖ) + ∇f(xₖ)ᵀ(x - xₖ) 约束函数线性化： gᵢ(x) ≈ gᵢ(xₖ) + ∇gᵢ(xₖ)ᵀ(x - xₖ) ≤ 0, i=1,2,3 由于f(xₖ)是常数，最小化f(x)等价于最小化∇f(xₖ)ᵀ(x - xₖ)。 第三步：计算梯度 首先计算各函数的梯度： ∇f(x) = [ 4(x₁ - 2)³ + 2(x₁ - 2x₂), -4(x₁ - 2x₂) ]ᵀ ∇g₁(x) = [ 2x₁, -1 ]ᵀ ∇g₂(x) = [ -1, 0 ]ᵀ ∇g₃(x) = [ 0, -1 ]ᵀ 第四步：选择初始点并设置参数 我们选择可行初始点x₀ = [ 0.5, 0.25 ]ᵀ 设置收敛容差ε = 10⁻⁶ 最大迭代次数K_ max = 100 第五步：迭代求解过程 第1次迭代（k=0）： 当前点x₀ = [ 0.5, 0.25 ]ᵀ 计算函数值和梯度： f(x₀) = (0.5-2)⁴ + (0.5-0.5)² = 5.0625 ∇f(x₀) = [ 4(-1.5)³ + 2(0), -4(0)] = [ -13.5, 0 ]ᵀ g₁(x₀) = 0.25 - 0.25 = 0 ∇g₁(x₀) = [ 1, -1 ]ᵀ 构建线性规划问题： 最小化：-13.5d₁ + 0d₂ 约束条件： d₁ - d₂ ≤ 0 (来自g₁的线性化) -0.5 - d₁ ≤ 0 (来自g₂的线性化) ⇒ d₁ ≥ -0.5 -0.25 - d₂ ≤ 0 (来自g₃的线性化) ⇒ d₂ ≥ -0.25 求解这个线性规划，得到搜索方向d₀ = [ -0.5, -0.25 ]ᵀ 第六步：线搜索和移动限制 由于线性化只在当前点附近有效，我们需要施加移动限制： ‖x - xₖ‖∞ ≤ Δₖ 设置初始信任域半径Δ₀ = 0.5 在线性规划解的基础上，我们进行线搜索确定步长αₖ： x₁ = x₀ + α₀d₀ 通过Armijo条件或其他线搜索准则确定α₀ = 0.8 x₁ = [ 0.5, 0.25]ᵀ + 0.8×[ -0.5, -0.25]ᵀ = [ 0.1, 0.05 ]ᵀ 第七步：收敛性判断和信任域调整 检查收敛条件： ‖x₁ - x₀‖ = 0.447 > ε，继续迭代 根据实际下降量与预测下降量的比值调整信任域半径： 实际下降：f(x₀) - f(x₁) 预测下降：∇f(x₀)ᵀd₀ 如果比值接近1，增大Δ；如果比值很小，减小Δ。 第八步：后续迭代 重复上述过程，每次迭代： 在当前点线性化目标函数和约束 求解带移动限制的线性规划子问题 进行线搜索确定新迭代点 调整信任域半径 检查收敛条件 经过多次迭代后，算法会收敛到最优解x* ≈ [ 1.695, 0.848]ᵀ，f(x* ) ≈ 0.089 第九步：方法特点和注意事项 收敛性 ：SLM在合适的条件下具有局部超线性收敛性 可行性 ：需要确保每次迭代的点都是可行的，或者通过罚函数处理不可行性 移动限制 ：关键参数，太大可能导致线性化不准确，太小可能收敛过慢 初始点选择 ：对收敛性有重要影响，应选择可行初始点 这个方法特别适合处理大规模非线性约束优化问题，因为它将复杂的非线性问题转化为一系列相对容易求解的线性规划问题。