列生成算法在无人机路径规划问题中的应用示例
我将为您详细讲解列生成算法在无人机路径规划问题中的应用。这是一个结合了组合优化和线性规划的经典问题。
问题描述
假设我们有一个无人机配送网络，需要从配送中心向多个客户点送货。问题要求：
- 从单一配送中心出发，服务所有客户点后返回
- 每个客户点有特定的服务时间窗口
- 无人机有最大飞行距离限制
- 目标是找到总飞行距离最短的路径集合
- 每架无人机可以服务多个客户点，但必须遵守容量约束
数学模型建立
主问题（限制主问题）
设R是所有可行路径的集合，令：
- \(c_r\)：路径r的飞行距离
- \(a_{ir}\)：如果路径r服务客户i则为1，否则为0
- \(x_r\)：是否选择路径r（0-1变量）
主问题为：
\[\min \sum_{r \in R} c_r x_r \]
\[ \text{s.t.} \quad \sum_{r \in R} a_{ir} x_r = 1, \quad \forall i \in \text{客户集合} \]
\[ x_r \in \{0,1\}, \quad \forall r \in R \]
解题过程
步骤1：初始化限制主问题
由于可行路径集合R太大，我们从一个小的路径子集开始：
- 初始解：为每个客户单独分配一架无人机
- 初始路径集合：每个路径只包含一个客户点
- 建立初始的限制主问题
例如，有5个客户时，初始路径为：
- 路径1：中心→客户1→中心
- 路径2：中心→客户2→中心
- ...
- 路径5：中心→客户5→中心
步骤2：求解限制主问题的线性松弛
求解当前限制主问题的线性松弛版本：
\[\min \sum_{r \in R'} c_r x_r \]
\[ \text{s.t.} \quad \sum_{r \in R'} a_{ir} x_r = 1, \quad \forall i \]
\[ x_r \geq 0, \quad \forall r \in R' \]
其中R'是当前考虑的路径子集。
通过单纯形法求解，得到：
- 最优解 \(x^*\)
- 对偶变量 \(\pi_i\)（每个客户的影子价格）
步骤3：定价子问题（寻找负检验数的列）
定价子问题是要找到检验数 \(\bar{c}_r = c_r - \sum_i a_{ir} \pi_i < 0\) 的路径。
这等价于求解一个有资源约束的最短路径问题：
\[\min_{r \in R} \left( c_r - \sum_{i \in r} \pi_i \right) \]
子问题可以建模为：
- 节点：配送中心+所有客户点
- 边：可行的飞行段
- 目标：最小化调整后的路径成本
- 约束：时间窗口、容量、最大距离
步骤4：求解定价子问题
使用动态规划或标签算法求解定价子问题：
定义状态：\((i, t, q, S)\) 表示：
- 当前位置i
- 当前时间t
- 已服务客户集合S
- 当前载重q
状态转移：
- 从位置i移动到位置j
- 检查时间可行性：\(t + t_{ij} \leq l_j\)（到达时间不超过最晚时间）
- 检查容量可行性：\(q + d_j \leq Q\)
- 更新成本：原成本 - 对偶变量值
算法步骤：
- 从配送中心开始，初始状态(中心, 0, 0, ∅)
- 扩展所有可行移动
- 应用支配规则剪枝
- 找到成本最小的可行路径
步骤5：检查最优性条件
如果找到的路径r满足：
\[\bar{c}_r = c_r - \sum_{i \in r} \pi_i < -\epsilon \]
（其中ε是小正数）
则将这条路径加入限制主问题，返回步骤2。
否则，当前解是最优的线性松弛解。
步骤6：分支定界（处理整数性）
由于主问题是整数规划，如果线性松弛解不是整数解，需要分支：
分支策略：
- 在弧上分支：选择分数值的弧(i,j)，创建两个分支
- 分支1：必须使用弧(i,j)
- 分支2：禁止使用弧(i,j)
在每个节点继续使用列生成求解线性松弛。
数值示例
假设有3个客户点：
- 客户1：时间窗口[1,3]，服务时间0.2
- 客户2：时间窗口[2,4]，服务时间0.2
- 客户3：时间窗口[1,4]，服务时间0.2
- 最大飞行时间：6小时
- 距离矩阵：
中心-1: 1, 1-2: 1, 1-3: 2 中心-2: 2, 2-3: 1, 3-中心: 1
迭代1：
- 初始路径：3条单客户路径
- 求解主问题：每条路径权重为1
- 对偶变量：π = [1, 2, 1]
- 定价子问题：找到路径"中心-1-2-中心"，成本=4，检验数=4-(1+2)=1>0
- 无负检验数路径，但解不是整数
迭代2：
- 分支：在弧(1,2)上分支
- 左分支：必须包含弧(1,2)
- 重新求解，找到整数解
算法优势
- 处理大规模问题：避免枚举所有路径
- 动态生成列：只生成有潜力的路径
- 利用对偶信息：通过影子价格指导搜索
- 灵活性强：容易加入各种实际约束
实际应用考虑
- 考虑天气约束
- 处理突发客户请求
- 多无人机协同
- 充电站规划
- 避障约束
这个算法框架可以有效地解决实际中的无人机路径规划问题，在保证解质量的同时显著提高计算效率。