切棍子问题的进阶变种：多维切割成本问题

题目描述：
有一根长度为n的棍子，需要将它切割成m段，每段的长度都是整数。与经典切棍子问题不同的是，这次切割是在一个d维空间中进行，每个维度上都有不同的切割成本。具体来说：

• 棍子在d个维度上分别有长度L₁, L₂, ..., L₍d₎
• 对于每个维度i，在位置x处切割的成本为cᵢ(x)
• 一次切割会同时影响所有维度
• 目标是将这个d维长方体切割成指定的小长方体，求最小总切割成本

解题过程：

1. 问题分析：
   这是一个多维扩展的区间动态规划问题。我们需要找到一个切割序列，使得将原始d维长方体切割成目标形状的总成本最小。

2. 状态定义：
   定义dp[l₁][r₁][l₂][r₂]...[l₍d₎][r₍d₎]]表示将第1维从l₁到r₁、第2维从l₂到r₂、...、第d维从l₍d₎到r₍d₎]的长方体切割成目标形状的最小成本。

3. 状态转移方程：
   对于每个维度，我们考虑所有可能的切割位置：

dp[l₁][r₁]...[l₍d₎][r₍d₎]] = min {
// 在第1维切割
min_{k=l₁+1}^{r₁-1} [dp[l₁][k]...[l₍d₎][r₍d₎]] + dp[k][r₁]...[l₍d₎][r₍d₎]] + c₁(k)],

// 在第2维切割  
min_{k=l₂+1}^{r₂-1} [dp[l₁][r₁]...[l₂][k]...[l₍d₎][r₍d₎]] + dp[l₁][r₁]...[k][r₂]...[l₍d₎][r₍d₎]] + c₂(k)],

...

// 在第d维切割
min_{k=l₍d₎+1}^{r₍d₎-1} [dp[l₁][r₁]...[l₍d₎][k]] + dp[l₁][r₁]...[k][r₍d₎]] + c₍d₎(k)]

}

4. 边界条件：
   当长方体已经达到目标大小时（即不需要再切割），成本为0：
   如果对于所有维度i，都有rᵢ - lᵢ等于目标长度，则dp[...] = 0

5. 计算顺序：
   由于这是多维区间DP，我们需要按照所有维度的区间长度从小到大的顺序进行计算。具体来说：

• 先计算所有维度区间长度都为1的情况
• 然后计算所有维度区间长度都为2的情况
• 依此类推，直到计算整个原始长方体

6. 时间复杂度分析：
   假设每个维度的最大长度为L，那么状态总数为O(L²ᵈ)，每个状态需要O(d×L)次计算，总时间复杂度为O(d×L²ᵈ⁺¹)。

7. 空间优化：
   可以使用记忆化搜索来避免计算不必要的状态，或者使用滚动数组技术来优化空间复杂度。

这个多维切割问题展示了区间动态规划在处理高维问题时的扩展能力，通过合理的状态设计和计算顺序，我们能够有效地解决这类复杂的优化问题。